Теория нелинейной теплопроводности

Нелинейные модели позволяют описать процессы в более широком диапазоне изменения параметров. При этом нелинейности изменяют не только количественные характеристики процессов,

Теория нелинейной теплопроводности

Дипломная работа

Физика

Другие дипломы по предмету

Физика

Сдать работу со 100% гаранией
.е. (4.6)

 

Тогда

 

(4.7)

 

Так как условие (4.5) должно выполняться для любых r и t, то это возможно лишь при S(t) = 0. С учетом формулы (4.7) это условие приводит к дифференциальному уравнению для определения функции А(t):

 

(4.8)

 

Для обеспечения слабой сходимости решения в форме (4.3) при к дельтаобразному начальному распределению необходимо, чтобы , а при . Разделяя переменные в уравнении (4.8), интегрируя и полагая константу интегрирования равной нулю, находим решение.

 

(4.9)

 

неограниченно возрастающее при .

Теперь, используя соотношение (4.6), для функции l(t) приходим к следующему дифференциальному уравнению:

 

(4.10)

 

Общее решение этого неоднородного дифференциального уравнения первого порядка находим как сумму общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения. В результате получаем

 

(4.11)

 

Таким образом, с учетом уравнений (4.3), (4.9) и (4.11) решение исходной задачи (4.2) можно записать в форме фронтового решения

 

(4.12)

 

где

 

(4.13)

(4.14)

 

 

Значение константы С в формуле (4.14) можно найти из соотношения

 

(4.15)

 

являющегося следствием начального условия задачи Коши (4.2). С учетом выражений (4.12) - (4.14) соотношение (4.15) преобразуется к виду

 

(4.16)

 

Учитывая, что

 

 

а значение интеграла

 

 

выражается через бета функцию

 

 

из выражения (4.16) находим значение константы

 

 

(4.17)

 

Таким образом, точное решение задачи (4.2) имеет вид (4.12), где u(t) и r+(t) определены соотношениями (4.13) и (4.14) с константой С, которая находится по формуле (4.17). Найденное решение допускает предельный переход р 0. Полагая в уравнении (4.14) р = 0, получаем решение задачи о влиянии мгновенного сосредоточенного теплового источника в нелинейной среде без объемного поглощения. Для N = 1 это решение было построено нами ранее.

Дадим физическую интерпретацию решения (4.12). Оно описывает эволюцию тепловой структуры конечных пространственных размеров, которую мы будем называть тепловым импульсом. В любой момент времени t > 0 существует фронт теплового импульса r = r+(t), отделяющий область тепловых возмущений от невозмущенной области, куда тепловые возмущения еще не дошли и где u = 0.

Проанализируем характер движения фронта теплового импульса. Для этого запишем уравнение (4.14) в виде

 

(4.18)

 

Где

 

 

Качественный вид зависимости (4.18) представлен на рисунке.

 

Рисунок 3 описывает качественный вид зависимости движения фронта теплового импульса

 

На начальной стадии эволюции теплового импульса механизм тепловой диффузии является определяющим и пространственный размер теплового импульса увеличивается с течением времени. В среде распространяется волна разогрева. Затем скорость движения фронта теплового импульса уменьшается, и при t = t*, где

 

 

фронт останавливается, проникнув в нелинейную среду с объемным поглощением лишь на конечную глубину.

При t > t* объемное поглощение тепловой энергии становится доминирующим фактором в балансе энергии, и волна разогрева сменяется волной охлаждения, когда ширина теплового импульса уменьшается. Фронт теплового импульса изменяет направление движения, и в момент времени t = tm тепловой импульс стягивается в точку, прекращая свое существование. Тепловой импульс в среде с объемным поглощением тепловой энергии существует конечное время, т.е. для t > tm в любой точке пространства u = 0. Такую локализацию тепловых возмущений с конечным временем их существования в нелинейной среде с поглощением естественно назвать пространственно-временной локализацией.

При р = 0, т.е. в отсутствие объемного поглощения теплоты, из уравнения (4.14) следует монотонный степенной рост ширины теплового импульса (штриховая линия на рисунке 2). Тепловые возмущения в этом случае проникают в среду неограниченно далеко.

Полученные соотношения можно рассматривать и при р < 0, когда в объеме среды протекают экзотермические процессы, приводящие к выделению тепловой энергии. В такой нелинейной среде с объемными тепловыми источниками фронт теплового импульса распространяется с конечной скоростью, однако ширина теплового импульса в соответствии с соотношением (4.14) при р < 0 увеличивается.

 

. Решения нелинейной задачи теплопроводности на полупрямой

 

Начнем с рассмотрения задачи

 

(5.1)

 

с начальным/граничным условием для уравнения на полупрямой характеризуемой начальным и граничными условиями

 

u(x,0)=u0(x) ∞˃ x≥0 (5.2)

ux(∞,t)=0 (5.3)

(5.4)

 

где - положительная константа, а - интегрируемая функция. Граничное условие (5.4) представляет заданную теплопроводность в начале координат

Введем преобразование годографа

 

 

(5.5)

(5.6)

(5.7)

 

условие совместности которого гарантировано уравнением (5.1). Используя приведенное выше преобразование, отобразим уравнение (5.1) в линейное уравнение теплопроводности

 

(5.8)

 

в области , где F(t) удовлетворяет соотношению

 

(5.9)

 

С помощью преобразования годографа мы свяжем с уравнением (4) начальные данные

 

(5.10)

 

где z0 в силу уравнений (5.5) и (5.6) имеет вид

 

(5.11)

 

а также граничные условия

 

(5.12)

(5.13)

 

Тогда задача с начальным /граничным условием для нелинейного диффузионного уравнения (5.1) с начальными данными (5.2) и граничными условиями (5.3), (5.4) отображается в линейное уравнение теплопроводности (5.7) в области с движущейся границей, характеризующейся начальным условием (5.9) и граничными условиями (5.11), (5.12). Чтобы решить линейную задачу, введем фундаментальное ядро теплопроводности

 

(5.14)

 

и проинтегрируем тождество Грина для уравнения теплопроводности

 

(5.15)

 

по области , а также возьмем . Используя условие (5.12) и тот факт, что , получаем

 

(5.16)

 

Из уравнения (5.15) ясно, что можно определить , если известно граничное условие v(F(t), t); поэтому удобно вычислить (5.15) при . Полагая , получим

 

(5.17)

(5.18)

(5.19)

 

Уравнение (5.16) является линейным интегральным уравнением Вольтерра второго рода с сингулярным ядром Подходящий выбор функции f(t) позволяет с помощью уравнения (5.8) получить умеренно сингулярное ядро. Тогда линейное уравнение Вольтерра (5.16) допускает единственное решение в предположении, что G(t) является интегрируемой и ограниченной функцией своего аргумента.

Используя процесс Пикара последовательных приближений, решение уравнения (5.16) можно записать как

 

(5.20)

 

Здесь -ядро резольвенты, задаваемое рядом

 

(5.21)

 

Рис. 4

 

 

Графическое представление решения, соответствующего примеру 5.1 построенное относительно переменной при фиксированных значениях t для различных интервалов:

 

(5.23)

 

Ниже мы численно исследуем четыре примера, соответствующие двум различным выборам функции в первом случае является константой,

а во втором - линейной функцией времени:

 

(5.24)

(5.25)

 

Из (5.23) и (5.24) ясно, что с учетом соотношения (5.8) является соответственно линейной или квадратичной функцией времени. Мы рассматриваем начальные данные u0(x), совместные с асимптотическим условием (5.2), соответствующим, во первых, функции

 

(5.26)

 

 

Рис. 5

 

Графическое представление решения соответствующего примеру 5.2 построенное относительно переменной при фиксированных значениях для различных интервалов:

 

 

где - обычная единичная ступенчатая функция, а во-вторых, функции

 

(5.27)

 

где W(x) - W-функция Ламбера, неявно определяемая соотношением В первом случае с , определяющейся (5.23), наш метод состоит в прямом вычислении функции через явное решение, как это было показано в работе.Затем мы вычисляем функцию в соответствии с выражением (5.15) и окончательно получаем решение , обращая преобразование годографа (5.4)-(5.6). При фиксированном времени t = t* с помощью (5.4) и (5.5) получаем

 

(5.28)

 

Тогда из выражения (5.27) мы получаем обратную функцию и окончательно находим решение исходной задачи:

 

(5.29)

 

в соответствии с (5.4).

 

Рис. 6

 

Графическое представление решения соответствующего примеру 5.3 построенное относительно переменной при фиксированных значениях t для различных интервалов:

Если определяется (5.24), то

Похожие работы

<< < 1 2 3 4 >