Тогда
(4.7)
Так как условие (4.5) должно выполняться для любых r и t, то это возможно лишь при S(t) = 0. С учетом формулы (4.7) это условие приводит к дифференциальному уравнению для определения функции А(t):
(4.8)
Для обеспечения слабой сходимости решения в форме (4.3) при к дельтаобразному начальному распределению необходимо, чтобы , а при . Разделяя переменные в уравнении (4.8), интегрируя и полагая константу интегрирования равной нулю, находим решение.
(4.9)
неограниченно возрастающее при .
Теперь, используя соотношение (4.6), для функции l(t) приходим к следующему дифференциальному уравнению:
(4.10)
Общее решение этого неоднородного дифференциального уравнения первого порядка находим как сумму общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения. В результате получаем
(4.11)
Таким образом, с учетом уравнений (4.3), (4.9) и (4.11) решение исходной задачи (4.2) можно записать в форме фронтового решения
(4.12)
где
(4.13)
(4.14)
Значение константы С в формуле (4.14) можно найти из соотношения
(4.15)
являющегося следствием начального условия задачи Коши (4.2). С учетом выражений (4.12) - (4.14) соотношение (4.15) преобразуется к виду
(4.16)
Учитывая, что
а значение интеграла
выражается через бета функцию
из выражения (4.16) находим значение константы
(4.17)
Таким образом, точное решение задачи (4.2) имеет вид (4.12), где u(t) и r+(t) определены соотношениями (4.13) и (4.14) с константой С, которая находится по формуле (4.17). Найденное решение допускает предельный переход р 0. Полагая в уравнении (4.14) р = 0, получаем решение задачи о влиянии мгновенного сосредоточенного теплового источника в нелинейной среде без объемного поглощения. Для N = 1 это решение было построено нами ранее.
Дадим физическую интерпретацию решения (4.12). Оно описывает эволюцию тепловой структуры конечных пространственных размеров, которую мы будем называть тепловым импульсом. В любой момент времени t > 0 существует фронт теплового импульса r = r+(t), отделяющий область тепловых возмущений от невозмущенной области, куда тепловые возмущения еще не дошли и где u = 0.
Проанализируем характер движения фронта теплового импульса. Для этого запишем уравнение (4.14) в виде
(4.18)
Где
Качественный вид зависимости (4.18) представлен на рисунке.
Рисунок 3 описывает качественный вид зависимости движения фронта теплового импульса
На начальной стадии эволюции теплового импульса механизм тепловой диффузии является определяющим и пространственный размер теплового импульса увеличивается с течением времени. В среде распространяется волна разогрева. Затем скорость движения фронта теплового импульса уменьшается, и при t = t*, где
фронт останавливается, проникнув в нелинейную среду с объемным поглощением лишь на конечную глубину.
При t > t* объемное поглощение тепловой энергии становится доминирующим фактором в балансе энергии, и волна разогрева сменяется волной охлаждения, когда ширина теплового импульса уменьшается. Фронт теплового импульса изменяет направление движения, и в момент времени t = tm тепловой импульс стягивается в точку, прекращая свое существование. Тепловой импульс в среде с объемным поглощением тепловой энергии существует конечное время, т.е. для t > tm в любой точке пространства u = 0. Такую локализацию тепловых возмущений с конечным временем их существования в нелинейной среде с поглощением естественно назвать пространственно-временной локализацией.
При р = 0, т.е. в отсутствие объемного поглощения теплоты, из уравнения (4.14) следует монотонный степенной рост ширины теплового импульса (штриховая линия на рисунке 2). Тепловые возмущения в этом случае проникают в среду неограниченно далеко.
Полученные соотношения можно рассматривать и при р < 0, когда в объеме среды протекают экзотермические процессы, приводящие к выделению тепловой энергии. В такой нелинейной среде с объемными тепловыми источниками фронт теплового импульса распространяется с конечной скоростью, однако ширина теплового импульса в соответствии с соотношением (4.14) при р < 0 увеличивается.
. Решения нелинейной задачи теплопроводности на полупрямой
Начнем с рассмотрения задачи
(5.1)
с начальным/граничным условием для уравнения на полупрямой характеризуемой начальным и граничными условиями
u(x,0)=u0(x) ∞˃ x≥0 (5.2)
ux(∞,t)=0 (5.3)
(5.4)
где - положительная константа, а - интегрируемая функция. Граничное условие (5.4) представляет заданную теплопроводность в начале координат
Введем преобразование годографа
(5.5)
(5.6)
(5.7)
условие совместности которого гарантировано уравнением (5.1). Используя приведенное выше преобразование, отобразим уравнение (5.1) в линейное уравнение теплопроводности
(5.8)
в области , где F(t) удовлетворяет соотношению
(5.9)
С помощью преобразования годографа мы свяжем с уравнением (4) начальные данные
(5.10)
где z0 в силу уравнений (5.5) и (5.6) имеет вид
(5.11)
а также граничные условия
(5.12)
(5.13)
Тогда задача с начальным /граничным условием для нелинейного диффузионного уравнения (5.1) с начальными данными (5.2) и граничными условиями (5.3), (5.4) отображается в линейное уравнение теплопроводности (5.7) в области с движущейся границей, характеризующейся начальным условием (5.9) и граничными условиями (5.11), (5.12). Чтобы решить линейную задачу, введем фундаментальное ядро теплопроводности
(5.14)
и проинтегрируем тождество Грина для уравнения теплопроводности
(5.15)
по области , а также возьмем . Используя условие (5.12) и тот факт, что , получаем
(5.16)
Из уравнения (5.15) ясно, что можно определить , если известно граничное условие v(F(t), t); поэтому удобно вычислить (5.15) при . Полагая , получим
(5.17)
(5.18)
(5.19)
Уравнение (5.16) является линейным интегральным уравнением Вольтерра второго рода с сингулярным ядром Подходящий выбор функции f(t) позволяет с помощью уравнения (5.8) получить умеренно сингулярное ядро. Тогда линейное уравнение Вольтерра (5.16) допускает единственное решение в предположении, что G(t) является интегрируемой и ограниченной функцией своего аргумента.
Используя процесс Пикара последовательных приближений, решение уравнения (5.16) можно записать как
(5.20)
Здесь -ядро резольвенты, задаваемое рядом
(5.21)
Рис. 4
Графическое представление решения, соответствующего примеру 5.1 построенное относительно переменной при фиксированных значениях t для различных интервалов:
(5.23)
Ниже мы численно исследуем четыре примера, соответствующие двум различным выборам функции в первом случае является константой,
а во втором - линейной функцией времени:
(5.24)
(5.25)
Из (5.23) и (5.24) ясно, что с учетом соотношения (5.8) является соответственно линейной или квадратичной функцией времени. Мы рассматриваем начальные данные u0(x), совместные с асимптотическим условием (5.2), соответствующим, во первых, функции
(5.26)
Рис. 5
Графическое представление решения соответствующего примеру 5.2 построенное относительно переменной при фиксированных значениях для различных интервалов:
где - обычная единичная ступенчатая функция, а во-вторых, функции
(5.27)
где W(x) - W-функция Ламбера, неявно определяемая соотношением В первом случае с , определяющейся (5.23), наш метод состоит в прямом вычислении функции через явное решение, как это было показано в работе.Затем мы вычисляем функцию в соответствии с выражением (5.15) и окончательно получаем решение , обращая преобразование годографа (5.4)-(5.6). При фиксированном времени t = t* с помощью (5.4) и (5.5) получаем
(5.28)
Тогда из выражения (5.27) мы получаем обратную функцию и окончательно находим решение исходной задачи:
(5.29)
в соответствии с (5.4).
Рис. 6
Графическое представление решения соответствующего примеру 5.3 построенное относительно переменной при фиксированных значениях t для различных интервалов:
Если определяется (5.24), то
