Теорема Котельникова и поперечники в среднем

Сигналы с дискретным временем. Их можно получить из непрерывных, выполняя над последними специальное преобразование, называемое дискретизацией по времени. Смысл этих

Теорема Котельникова и поперечники в среднем

Курсовой проект

Математика и статистика

Другие курсовые по предмету

Математика и статистика

Сдать работу со 100% гаранией
ельниковым теорема, являющаяся одним из фундаментальных результатов теоретической радиотехники. Эта теорема формулируется следующим образом: если непрерывный сигнал u(t) имеет ограниченный спектр и наивысшая частота в спектре меньше, чем fв герц, то сигнал u(t) полностью определяется последовательностью своих мгновенных значений в дискретные моменты времени, отстоящие друг от друга не более чем на 1/(2fв) секунд.

Смысл теоремы Котельникова поясним с помощью временных диаграмм, приведенных на рис.5.2а. Пусть это будет часть временной диаграммы сигнала u(t) с ограниченным спектром и с верхней граничной частотой fв. Если интервал дискретизации Δt<2 fв, то в теореме утверждается, что по значениям u(Δt), u(2Δt), u(3Δt),… можно определить точное значение сигнала u(t) для любого заданного момента времени t, находящегося между моментами отсчета. В соответствии с этой теоремой сигнал с ограниченным спектром и верхней частотой wв<=wΔ/2 можно представить рядом

 

(2)

 

где u(nΔt), n=…-1, 0, +1,… - отсчеты мгновенных значений сигнала и(t), wΔ = 2¶fΔ , fΔ=ЅΔt - частота дискретизации по времени.

Ряд 2 имеет бесконечное число слагаемых, так что для вычисления значения сигнала u(t) в момент времени t необходимо знать значения всех отсчетов и(nΔt), n=…-1, 0, +1, … как до, так и после указанного момента t. Точное равенство в (2) достигается, только когда учитываются все слагаемые; если ограничиться конечным числом слагаемых в правой части (2), то их сумма даст лишь приближенное значение сигнала u(t).

Представление сигнала u(t) рядом (2) иллюстрируется с помощью рис.5.3, на котором изображены временные диаграммы сигнала u(t) и трех слагаемых ряда (2).

 

Рис.5.3 Представление сигнала с ограниченным спектром рядом Котельникова

 

Таким образом, теорема Котельникова указывает условия, при которых непрерывный сигнал может быть точно восстановлен по соответствующему ему сигналу с дискретным временем. Реальные непрерывные сигналы, подлежащие передаче, как правило, имеют спектры хотя и довольно быстро стремящиеся к нулю с ростом частоты, но все же неограниченные. Такие сигналы могут быть восстановлены по своим дискретным отсчетам лишь приближенно. Однако, выбирая шаг дискретизации Δt достаточно малый, можно обеспечить пренебрежимо малое значение ошибки восстановления непрерывного сигнала по его переданным отсчетам в дискретные моменты времени. Например, при передаче телефонного сигнала, спектр которого неограничен, обычно принимают, что условная верхняя граничная частота fв = 3,4 кГц. В этом случае получаем, что частота дискретизации должна удовлетворять неравенству fΔ <6,8 кГц, т.е. в одну секунду должно передаваться 6,8 тысяч отсчетов. Качество передачи речи при этом оказывается вполне удовлетворительным.

Увеличение частоты дискретизации сверх указанного значения допустимо и приводит к незначительному повышению точности восстановления телефонного сигнала. Если же принять fΔ<6,8 кГц, то точность восстановления телефонного сигнала заметно падает.

Дискретизация непрерывной функции

При дискретизации непрерывной функции возникает вопрос, как выбрать интервал дискретизации, чтобы не происходила потеря информации, т.е. чтобы по дискретизованной версии можно было бы восстановить исходную непрерывную функцию. Для функций, имеющих фурье-образ, отличный от нуля только на ограниченном интервале, ответ на этот вопрос дает теорема Котельникова, называемая также теоремой отсчетов.

Теорема Котельникова. Если непрерывная, ограниченная на функция имеет фурье-образ , отличный от нуля только на интервале , то она может быть точно представлена по своим дискретным отсчётам, разделёнными интервалом дискретизации , в виде ряда

 

.

 

Приведем доказательство, принадлежащее самому В.А.Котельникову.

Запишем через обратное преобразование Фурье

 

 

Так как равна нулю вне интервала , можно считать ее периодичной с периодом и разложить в ряд Фурье

 

,

 

где

 

.

 

Сравнивая и , находим

 

.

 

Следовательно,

 

 

что и составляет утверждение теоремы Котельникова. Заметим, что вместо можно взять любое .

Постановки задач теории приближения. Основные характеристики наилучших приближений

Теория приближения - это ветвь математического анализа, призванная исследовать способы преобразования в конечную той бесконечной информации, которая заложена в понятие функции. Как самостоятельная часть математики она ведет начало с мемуара П.Л.Чебышева 1854, хотя отдельные вопросы, касающиеся приближения функций рассматривались ранее Эйлером, Гауссом, Лежандром, Понселе и другими математиками XVIII-XIX вв.

На первом этапе развития теории изучались приближения конкретных функций при помощи фиксированного аппроксимирующего множества, как правило, при помощи полиномов или рациональных дробей.

Задача о приближении индивидуального элемента фиксированным аппроксимирующим множеством.

Пусть () - метрическое пространство с расстоянием , А - подмножество Х. Задача о приближении элемента множеством А состоит в отыскании величины

 

 

Величину часто называют расстоянием от х до А.

Элемент , для которого =, называется экстремальным элементом или элементом наилучшего приближения для х.

Пусть есть некоторая совокупность аппроксимирующих множеств А. Рассмотрим величину

 

Наиболее распространены два класса аппроксимирующих множеств:

а ) класс всех линейных многообразий размерности ,

б ) класс всех точечных множеств, число элементов в которых не превосходит .

Величину обозначают через и называют N-поперечником по Колмогорову.

Определение поперечников

Приближения класса функций конкретным способом аппроксимации не дает решения проблемы наилучшего приближения класса функций n-мерным аппаратом приближения. Естественно возникает задача построения для каждого класса функций наилучшего способа аппроксимации.

Пусть В - банахово пространство, А и - два множества в пространстве В. Отклонением элемента от множества называется величина

 

 

Отклонением множества от множества называется величина

 

 

Данное определение можно записать в виде

 

 

Пусть В - банахово пространство, , - множество -мерных линейных подпространств пространства В. Пусть , т.е. некоторое -мерное линейное подпространство пространства В. Пусть , - базис подпространства . Тогда - точность аппроксимации Х линейными комбинациями вида , где - вещественные или комплексные числа в зависимости от вида пространства В. Нижняя грань чисел , когда пробегает все множества -мерных линейных подпространств пространства В и определяет поперечник Колмогорова

 

 

Определение 1.1.

Пусть - множество -мерных линейных подпространств пространства В. Выражение

 

 

где последний inf берется по всем подпространствам размерности n, определяет n-поперечник Колмогорова.

Определение 1.2.

Пусть . Выражение

 

 

где inf берется по всем непрерывным отображениям П: , определяет n-мерный поперечник Бабенко.

 

Определение 1.3.

Урысоновский поперечник определяется равенством

 

,

где

 

Размерность компакта Х, согласно утверждению Урысона, определяется равенством

 

 

Для всякого множества, принадлежащего нормированному пространству Е, выполняется

 

 

Позднее, в 1933 году П.С.Александровым были введены поперечники Александрова-Урысона и Александрова .

Определение 1.4

Полиэдром называется объединение локально конечного семейства выпуклых многогранников в n-мерном пространстве . Под выпуклым многогранником понимается пересечение конечного числа замкнутых полупространств в случае, если это пересечение ограничено, а локальная конечность семейства означает, что каждая точка имеет окрестность, пересекающуюся лишь с конечным числом многогранников.

 

Определение 1.5

Пусть Х - компакт. Пусть - класс всех полиэдров размерности не выше n и .

Тогда n-поперечник Александрова-Урысона определяется формулой

 

 

где inf берется по всевозможным парам , состоящим из полиэдра размерности не выше n и непрерывного отображения .

Определение 1.6

Пусть В - банахово пространство, Х - компакт. Пусть - класс всех лежащих в В полиэдров размерности не выше n и . Александровский n-поперечник определяется формулой

 

 

где inf берется по всевозможным парам , состоящим из лежащего в В полиэдра , не превосходящего степени n и непрерывного отображения .

Определение 1.7

Коразмерностью подпространства А называется величина

.

Определение 1.8

Пусть Х - выпуклое, центрально-симметричное подмножество в нормированном пространстве Е. Величина

 

где - подпространство в Е с , называется n-поперечником множества Х по Гельфанду.

Пусть Е - нормированное пространство с единичным шаром m , - некоторое выпуклое, центрально-симметричное подмножество Е. Пусть существует гильбертово пространство Н, всюду плотное в Е и .

Определение 1.9

Фурье-n-попе

Похожие работы

< 1 2 3 >