Теорема Котельникова и поперечники в среднем

Сигналы с дискретным временем. Их можно получить из непрерывных, выполняя над последними специальное преобразование, называемое дискретизацией по времени. Смысл этих

Теорема Котельникова и поперечники в среднем

Курсовой проект

Математика и статистика

Другие курсовые по предмету

Математика и статистика

Сдать работу со 100% гаранией

Федеральное агентство по образованию и науке

Пензенский Государственный Университет

Кафедра Высшей и Прикладной математики

 

 

 

 

 

 

 

 

Курсовой проект

 

по дисциплине

«Теория приближения функций»

 

на тему

«Теорема Котельникова и поперечники в среднем»

 

 

Теоретическая часть

 

В настоящее время все радиоэлектронные системы, включая системы телефонии, радиовещания и телевидения, переходят на цифровой режим работы. Поэтому преобразование различных аналоговых сигналов для их обработки в цифровой форме (проблема дискретизации) требует фундаментального математического обоснования для всевозможных классов детерминированных и случайных сигналов с тем, чтобы разработчики таких систем могли уверенно пользоваться цифровыми сигналами и их преобразованиями в различных радиоэлектронных устройствах и компонентах.

Теорема отсчетов для цифровой обработки случайных сигналов

Дискретизация детерминированных сигналов с ограниченной энергией в соответствии с теоремой Котельникова-Шеннона получила в 1960-х годах твердую теоретическую базу, а также многочисленные обобщения на основе математической теории гильбертовых пространств с воспроизводящими ядрами. Однако дискретизация случайных сигналов, например, речевых и телевизионных, до сих пор не нашла удовлетворительного для прикладных целей математического обоснования, что приводит на практике к неправомерному применению теоремы отсчетов и некорректным ее интерпретациям при цифровой обработке сигналов.

Теорема отсчетов Котельникова-Шеннона и ее обобщения

Прикладная проблема дискретизации сигналов развивалась значительно позднее, чем математическая проблема интерполяции функций. В результате решения последней получены интерполяционные формулы Ньютона, Стирлинга, Лагранжа, Гаусса, Бесселя, Эверетта, Стеффенсена и др. О. Коши в 1841 г. и Э. Борель в 1897 г. рассматривали интерполяционные ряды вида:

 

(1)

 

Однако первым, кто осознал важность представления (1) для прикладной математики и провел достаточно подробные исследования свойств ряда (1), был шотландский математик Эдмунд Уиттекер.

Он показал, что если некоторая неизвестная функция f(t) задана своими эквидистантными отсчетами fn = f (a+nΔt) в бесконечной совокупности точек (…, a-Δt, a, a+Δt, …), то среди бесконечного множества функций, которые можно провести через совокупность отсчетов (…, f-1, f0, f1, …), существует функция, не имеющая разрывов второго рода (сингулярностей) и быстрых осцилляций между отсчетными точками. Такую функцию C(t) Уиттекер назвал основной, или кардинальной функцией (cardinal function):

 

(2)

 

где sinc x = (sin x)/x.

Например, если a = 0 и fn = (-1)n, то

 

(3)

 

При этом формулу (3) нельзя рассматривать как применение теоремы отсчетов Котельникова-Шеннона к функции cos(2πFt) при F = 1/(2Δt), поскольку при a = Δt/2: fn = cos[π (a+nΔt)/Δt] = cos[π(n+1/2)] = 0 для любого значения n, и ряд (2) тождественно равен нулю. Дальнейшие свойства кардинальных функций исследовал в 1925-1927 гг. ученик Уиттекера - У. Феррер.

Он обнаружил у кардинальных функций замечательное свойство «самосогласованности».

Теорема Котельникова-Шеннона

Пусть сигнал s(t) обладает ограниченным по частоте (финитным) спектром:

 

при

 

Тогда сигнал s(t) может быть однозначно представлен в виде ряда Э. Уиттекера:

 

(4)

 

где sn = s(a+nΔt)- отсчет функции s(t) в точке tn = a+nΔt; a - произвольное действительное число; Δt = 1/Fд - интервал дискретизации (Fд ≥ 2Fm).Функция sinc x = (sin x)/x в теории сигналов называется функцией отсчетов, а ряд (6) в каждой точке t сходится среднеквадратически.

При этом

 

 

где Ωm ≡ 2πFm, Δt ≤ 1/(2Fm). Поскольку величину Δtн = 1/(2Fm) назвали интервалом Найквиста, то в теореме Котельникова-Шеннона интервал дискретизации Δt должен удовлетворять неравенству Δt ≤ Δtн.

Шеннон в фундаментальной статье приводит пример «белого шума» с финитной спектральной плотностью мощности (Wξ(ω) = N0 ≤ 2πFm), имеющего в качестве своих реализаций функции вида

 

 

где случайные коэффициенты an распределены по закону Гаусса и независимо друг от друга со средним a-n = 0 и с дисперсией σn2 = N0. Однако обобщения теоремы отсчетов на случайные процессы ξ(t) Шеннон не приводит.

Классификация сигналов

Непрерывные сигналы описываются непрерывными функциями времени. Мгновенные значения таких сигналов изменяются во времени плавно, без резких скачков (разрывов). Пример временной диаграммы непрерывного сигнала приведен на рис.5.2а. Сигналы, временные диаграммы которых изображены на рис.5.1, не являются непрерывными, поскольку их мгновенные значения в некоторые моменты времени изменяются скачками. Многие реальные сигналы являются непрерывными. К таковым можно отнести, например, электрические сигналы при передаче речи, музыки, многих изображений.

 

Рис. 5.1 График реализации телеграфного сигнала

 

 

а)

 

б)

в)

 

г)

Рис. 5.2 Дискретизация, квантование непрерывного сигнала: а - непрерывный сигнал; б - дискретный по времени (импульсный) сигнал; в - дискретный по времени и по значениям (цифровой) сигнал; г - ошибка квантования.

 

Сигналы с дискретным временем. Их можно получить из непрерывных, выполняя над последними специальное преобразование, называемое дискретизацией по времени. Смысл этих преобразований проиллюстрируем с помощью временных диаграмм, приведенных на рис.5.2. Будем считать, что можно измерить мгновенные значения сигнала u(t) в моменты времени Δt, 2Δt, 3Δt…; Δt называют интервалом дискретизации по времени. Измеряемые значения u(Δt), u(2Δt), u(3Δt) отмечены на рис.5.2а точками. По этим значениям можно сформировать последовательность коротких прямоугольных импульсов, длительность которых одинакова и меньше интервала дискретизации Δt, а амплитуды равны измеренным значениям сигнала u(t). Последовательность таких прямоугольных импульсов изображена на рис.5.2б и часто называется импульсным сигналом или сигналом с дискретным временем. Такой сигнал будет обозначен символом uΔ(t). Отметим, что шаг дискретизации по времени здесь постоянен и равен Dt, а амплитуда каждого импульса равна мгновенному значению сигнала u(t) в соответствующий момент времени. Поскольку непрерывный сигнал u(t) в выделенные моменты времени может принимать любые значения, то и амплитуды импульсов импульсного сигнала, полученного из непрерывного путем дискретизации по времени, также могут принимать любые значения: На рис.5.2б значения амплитуд импульсов указаны с точностью лишь до одного десятичного знака после запятой. Для точного указания значения амплитуд импульсов может потребоваться неограниченное число десятичных знаков после запятой, т.е., значения амплитуд импульсов заполняют непрерывно некоторый интервал. Поэтому амплитуды импульсов сигнала uΔ(t) иногда называют непрерывными величинами.

Цифровые сигналы. Как будет показано в дальнейшем, при передаче импульсных сигналов в электросвязи часто применяют специальное преобразование, состоящее в следующем. Предположим, что при передаче каждый импульс может иметь амплитуду лишь с разрешенным значением. Число разрешенных значений амплитуд импульсов конечно и задано.

Например, на рис.5.2 в разрешенные значения амплитуд пронумерованы цифрами 1, 2, 3, …; величина Δu равна разности между любыми двумя соседними разрешенными значениями амплитуд. Если истинное значение амплитуды импульса сигнала uΔ(t), подлежащее передаче, попадает между разрешенными значениями, то амплитуду передаваемого импульса принимают равной разрешенному значению, являющемуся ближайшим к истинному. Такое преобразование называют квантованием, совокупность разрешенных значений амплитуд передаваемых импульсов называют шкалой квантования, а интервал Δu между соседними разрешенными значениями - шагом квантования. Например, на рис. 2в разрешенные значения амплитуд импульсов приняты равными целым числам 0; 1; 2; 3 и образуют равномерную шкалу квантования, которая может быть продолжена и на область отрицательных значений сигнала u(t); при этом шаг квантования Δu=1.

Последовательность импульсов, полученная в результате квантования импульсов сигнала uΔ(t), также является импульсным сигналом, для которого введем обозначения uΔ(t). Особенность этого сигнала состоит в том, что амплитуды импульсов теперь имеют только разрешенные значения и могут быть представлены десятичными цифрами с конечным числом разрядов. Такие сигналы называют дискретными или цифровыми. Квантование приводит к ошибке квантования e(t) = uΔ(t) - uΔ(t). На рис.5.2г приведен пример временной диаграммы ошибки е(t). Передача цифрового сигнала uΔ(t) вместо сигнала uΔ(t) фактически эквивалентна передаче импульсного сигнала uΔ(t) с предварительно наложенным на него сигналом ошибки е(t), который в этом случае может рассматриваться как помеха. Поэтому е(t) часто называют помехой квантования или шумом квантования.

Теорема Котельникова. Поскольку дискретные сигналы широко используют в настоящее время при передаче сообщений, а многие реальные сигналы являются непрерывными, то важно знать: можно ли непрерывные сигналы представлять с помощью дискретных; можно ли указать условия, при которых такое представление оказывается точным.

Ответы на эти вопросы дает доказанная в 1933 г. советским ученым В.А. Кот

Похожие работы

1 2 3 > >>