Бета- и гамма-функции

  Балк М.Б., Виленкин Н.Я., Петров В.А. Математический анализ. Теория аналитических функций. - М.: Просвещение, 1985. - 159 с. Бермант А.Ф., Араманович

Бета- и гамма-функции

Дипломная работа

Математика и статистика

Другие дипломы по предмету

Математика и статистика

Сдать работу со 100% гаранией
1 и принять во внимание, что

Г(1)==1, (2.6)

 

то окажется, что

 

Г (n + 1) = n!. (2.7)

 

Функция «Гамма» является естественным распространением - на область любых положительных значений аргумента - факториала n!, определенного лишь для натуральных значений n.

 

2.2.3 Ход изменения функции «Гамма»

Теперь мы можем составить общее представление о поведении функции Г (а) при возрастании а от 0 до .

Из формул (2.6) и (2.7) имеем: Г(1) = Г(2) = 1, так что по теореме Ролля, между 1 и 2 должен лежать корень а0 производной Г'(а). Эта производная постоянно возрастает, ибо вторая производная Г''(а), как видно из ее выражения (2.3*), всегда положительна. Следовательно, при 0 < а < а0 производная Г'(а) < 0, и функция Г(а) убывает, а при а0 < а < будет Г'(а) > 0, так что Г(а) возрастает; при а = а0 налицо минимум, вычисление которого дает: а0 = 1,4616…, min Г (а) = Г (а0) = 0,8856.

Установим еще предел для Г (а) при приближении а к 0 или к . Из формул (2.6) [и из свойства 10] ясно, что Г (а) = при а . С другой стороны, ввиду (2.7) Г (а) > n!, лишь только а > n + 1, то есть Г(а) и при а .

 

2.2.4 Связь между функциями «Бета» и «Гамма»

Для того, чтобы установить связь между функциями В и Г, мы сделаем подстановку x = ty (t>0) в формуле (2.1) и получим:

 

Г (а) = = =

= = = .

 

Умножим обе части этого равенства на , получим:

 

. (2.8)

 

Заменяя здесь а на a + b и одновременно t на 1 + t, получим:

 

= .

 

Умножим теперь обе части этого равенства на ta-1 и проинтегрируем по t от 0 до :

 

Г (a+b) = .

В интервале слева мы узнаем функцию В (а, b) [см. 4]; справа же переставим интегралы. В результате получим [с учетом (2.7) и (2.1)]:

 

Г (а+b) В (а, b) = = = = = Г (а). Г (b).

 

Таким образом, получаем:

Г (а+b) В (а, b) = Г (а). Г (b), откуда, наконец,

 

В (а, b) = . (2.9)

 

Приведенный изящный вывод этого соотношения Эйлера принадлежит Дирихле. Но для его обоснования надо еще оправдать перестановку интегралов. Ограничимся поначалу предположением, что а > 1, b > 1. Тогда для функции ta-1 ya+b-1 e-(1+t)y оказываются выполнимыми все условия следствий интегрирования интеграла по параметру.

А именно: эта функция непрерывна и притом положительна для , а интегралы

 

= Г (а + b).

= Г (а) yb-1 e-y

в свою очередь представляют собой непрерывные функции: первый - от t для t0, второй - от у для у0. Ссылка на упомянутое следствие оправдывает перестановку интегралов, а с нею и формулу (2.8) - для случая а > 1, b > 1.

Если же известно лишь, что а > 0 и b > 0, то - по доказанному - имеем

 

В (а+1, b+1) = .

 

А отсюда, используя формулы привидения (1.2), (1.2') для функции В и (2.4) для функции Г, легко вновь получить формулу (2.8) уже без ненужных ограничений.

 

2.2.5 Формула дополнения

Если в формуле (2.9) положить b = 1-а (считая 0 < а < 1), то, используя формулы (1.5) и (2.6), получим соотношение:

 

В (а, 1-а) = = Г(а) Г (1-а)

В (а, 1-а) = ,

Г(а) Г (1-а) =

 

Эта формула называется формулой дополнения. При находим (так как Г(а)>0)

 

Г (). Г (1-) =

Г2 () = ,

Г () = . (2.11)

 

Если в интеграле сделать подстановку z= x2, то получим значение интеграла Эйлера-Пуассона:

 

= = = 2 = .

 

2.2.6 Формула Эйлера

В качестве применения формулы дополнения определим (вместе с Эйлером) величину произведения (где n - любое натуральное число)

 

Е = Г () Г () … Г () Г ().

 

Перепишем это произведение в обратном порядке

 

Е = Г () Г () … Г () Г (),

 

перемножим оба выражения:

 

Е2 =

и к каждой паре множителей применим формулу дополнения. Мы получим:

 

Е2 = = .

 

Теперь для вычисления произведения синусов рассмотрим тождество:

 

=

 

и устремим в нем , получим:

 

n =

 

или, приравнивая модули:

 

n = = =

= = =

= = = 2 sin = 2 n-1 ,

 

получили

= .

 

Подставляя это выражение для Е 2, окончательно получаем:

 

Е = = . (2.12)

 

2.2.7 Интеграл Раабе

С формулой дополнения связано и вычисление важного интеграла:

 

R0 = .

 

Заменяя а на 1 - а, можно написать:

 

R0 =

 

и, складывая это выражение с предыдущим и пользуясь вторым функциональным уравнением () для гамма-функции, получим:

 

R0 = R0 = + = =

= = = - =

= = - = - .

 

Второй из полученных интегралов после замены u = - переходит в , и объединяя его с первым, находим I = ln2 + 2I, откуда I =-ln2. Таким образом, получаем:

 

R0 = = + = . (2.13)

 

Раабе рассмотрел боле общий интеграл (при а>0):

 

R (a) = = а (ln a - 1) + . (2.14)

 

 

3. Другое определение функции «Гамма»

 

Для изучения глобальных свойств гамма-функции обычно пользуются интегральным представлением, что мы и делали в предыдущих параграфах. Но гамма-функцию можно представить и в виде ряда. Значение этой функции видно хотя бы из того, что она является естественным распространением факториала на дробные и даже комплексные значения аргумента. Это соображение мы и положим в основу другого определения гамма-функции.

 

3.1 Определение

 

Рассмотрим функциональное уравнение

 

, (3.1)

 

которому для всех целых неотрицательных значений удовлетворяет функция

 

(3.2)

 

Будем искать аналитическую функцию , удовлетворяющую уравнению (3.1) для всех комплексных z и, для определенности, равную 1 при (условие 1).

Надо заметить, что искомая функция для любых целых положительна. должна удовлетворять уравнению

 

.(3.3)

 

которое получается повторным применением формулы (3.1).

Полагая в соотношении (3.3) , получаем, что для всех целых положительное значение совпадает с .

Заменив в (3.3) и переписав это соотношение в виде

 

, (3.4)

 

мы видим, что искомая функция должна иметь полюса во всех целых неположительных точках (= 0, 1, 2, …). В самом деле, при числитель выражения (3.4) стремится к 1, а знаменатель к нулю. Из той же формулы (3.4) видно, что

 

(3.5)

 

Но мы знаем, что вычет в полюсе первого порядка определяется по формуле

 

.

 

В формуле (3.5) все полюсы - первого порядка, значит вычет в полюсе равен .

Мы предположим еще, что не имеет других особенностей, кроме z = 0, -1, -2, …, и нигде не обращается в нуль (условие II).

Тогда логарифмическая производная функции равна:

 

,

 

и будет мероморфной функцией, имеющей в точках z = 0, -1, -2, …, простые полюса с вычетами, равными -1.

Прологарифмируем формулу (3.3).

 

.

 

Продифференцируем полученную функцию:

 

.

 

Подставим здесь z = 0 и обозначим :

 

;

 

вычитая полученное равенство из предыдущего, найдем:

 

(3.6)

 

Ряд с общим членом

 

,

 

очевидно сходится при любом ибо отношение его общего члена к члену сходящегося ряда стремится к конечному пределу - z. Кроме того, в любой ограниченной области, начиная с некоторого , имеем , где М - некоторая постоянная, следовательно, этот ряд сходится равномерно. Таким образом, по теореме Вейерштрасса сумма ряда представляет собой функцию, аналитическую во всех конечных точках, кроме точек , где она имеет полюсы первого порядка с вычетом, равным -1.

Перейдем в формуле (3.6) к пределу при ; по только что доказанному существует предел , следовательно, существует и предел , который мы обозначим через . В пределе будем иметь:

 

(3.7)

 

Так как по доказанному имеет в точках полюсы первого порядка, то главные части ее логарифмической производной в этих полюсах равны . Отсюда следует, что функция должна быть целой. Очевидно, что и обратно, какова бы ни была целая функция , функция , определяемая по своей логарифмической производная будет удовлетворять условию II.

Условие I налагает на функцию дополнительное ограничение. В самом деле, из функционального уравнения (1) логарифмированием и дифференцированием получаем следующее уравнение для функции :

 

. (3.8)

 

Но из равенства (3.7) следует:

 

 

(постоянная С и все слагаемые, кроме первого, при вычислении сокращаются), поэтому для того, чтобы удовлетворилось соотношение (8), функция должна быть периодической с периодом 1, т.е. . Обратно, для любой такой функция будет удовлетворять уравнению (3.8) и, интег

Похожие работы

< 1 2 3 >