Бета- и гамма-функции

Дипломная работа - Математика и статистика

Другие дипломы по предмету Математика и статистика

Скачать Бесплатно!
Для того чтобы скачать эту работу.
1. Пожалуйста введите слова с картинки:

2. И нажмите на эту кнопку.
закрыть



ение. В самом деле, из функционального уравнения (1) логарифмированием и дифференцированием получаем следующее уравнение для функции :

 

. (3.8)

 

Но из равенства (3.7) следует:

 

 

(постоянная С и все слагаемые, кроме первого, при вычислении сокращаются), поэтому для того, чтобы удовлетворилось соотношение (8), функция должна быть периодической с периодом 1, т.е. . Обратно, для любой такой функция будет удовлетворять уравнению (3.8) и, интегрируя и дифференцируя последнее, найдем:

 

,

 

где А - некоторая постоянная. Если функция удовлетворяет еще условиям , то, подставляя в последнее уравнение z = 1, найдем А = 0, т.е. после потенцирования получим функциональное уравнение (3.1).

Таким образом, для любой целой периодической с периодом 1 функции соответствующая функция (если для нее ) удовлетворяет обоим условиям I и II.

Иными словами, условиям I и II удовлетворяет целый класс мероморфных функций. Простейшую из этих функций мы получим, если положим в (3.7) - она и называется гамма-функцией Эйлера и обозначается символом Г(z). Для логарифмической производной гамма-функции имеем, следовательно, разложение:

 

, (3.9)

 

где С - постоянная, которую мы сейчас определим. Проинтегрируем разложение (3.9) вдоль некоторого пути, соединяющего точку z = 0 с произвольной точкой и не одержащего точек , получим разложение логарифма гамма-функции:

 

. (3.10)

 

Постоянная С определяется условием Г(2)=1, которое мы наложили выше на гамма-функцию (второе условие Г(1)=1 имеет место при любом С в силу нашего выбора начала пути интегрирования).

Подставим в (3.10) z=1, получим:

 

.

 

Последнее произведение равно ; добавляя в сумму, стоящую под знаком предела, стремящейся к нулю член и заменяя еще через , получим:

(3.11)

 

Эта постоянная носит название постоянной Эйлера, ее приблизительное значение равно .

Из формулы (3.10) потенцированием получаем представление функции в виде бесконечного произведения

.

.

.

(3.12)

 

Полученное бесконечное произведение сходится для всех конечных z, для () это следует из доказанной сходимости ряда (3.9) и теоремы - для сходимости бесконечного произведения необходима и достаточна сходимость ряда при надлежащем выборе значений логарифмов. А для непосредственно видно, что она сходится к нулю.

3.2 Основные свойства

 

Перечислим основные свойства гамма-функции, которые мы получили при ее определении:

) Г(z) аналитична всюду, кроме целочисленных отрицательных точек и точки z=0.

) Г(z) удовлетворяет функциональному уравнению

 

Г (z+1)=zГ(z). (3.13)

 

или более общему

 

(3.14)

 

) При всех целых положительное значение Г (n+1) совпадает с n!

 

(3.15)

 

) Все полюсы гамма-функции первого порядка, причем вычет Г(z) в полюсе равен .

Из сходимости произведения (3.12) заключаем:

) Функция - целая, следовательно, гамма-функция не обращается в нуль.

Свойства 3) - 5) выясняют общий характер графика функции действительного аргумента . На рисунке 2 изображены графики функций и (пунктиром).

Максимумы и минимумы для отрицательных приближаются к нулю при , это связано с тем, что по свойству 4) вычет, т.е. коэффициент при главной части разложения в окрестности точки , сильно убывает с ростом :

 

 

Ниже приведен рельеф гамма-функции (рис. 3), т.е. поверхность с уравнением .

Ярко выраженные пики над точками соответствуют полюсам. Два семейства линий на поверхности представляют собой семейства линий равного модуля и равного аргумента, цифровые отметки на них указывают значения модуля и аргумента (последнее - в градусах).

Приведем еще несколько свойств гамма-функции. Наряду с соотношением (3.13) во многих вопросах полезно еще второе функциональное уравнение для гамма-функции:

) Для всех комплексных z

 

(3.16)

 

(при , б обе части равенства обращаются в бесконечность).

Для вывода этого соотношения подставим сначала в формулу (3.12), получим:

 

,(3.17)

затем заменим в той же формуле (3.12) z на - z:

 

.

 

Перемножив полученные произведения (это законно в силу их абсолютной сходимости), найдем:

 

.

 

Остается воспользоваться разложением в бесконечное произведение, и мы получим искомую формулу (3.16).

Отметим некоторые следствия полученных формул. Полагая в формуле (3.16), находим , откуда .

Применив теперь формулу (14), в которой положено найдем:

 

(3.18)

 

Полагая в (3.16) , будем иметь:

откуда по (3.18) получим формулу:

(3.19)

 

) Для всех z из правой полуплоскости

 

,(3.20)

 

где интегрирование производится по положительной полуоси t (Эйлер).

Для доказательства прежде всего заметим, что интеграл (3.20) сходится для всех z, для которых . В самом деле, , и мы видим, что при сходимость интеграла (для любого ) обеспечивается множителем , а при подынтегральная функция имеет порядок , так что для интеграл будет сходиться.

Далее, рассмотрим еще функцию ;

вводя здесь новое переменное интегрирования и применяя затем формулу интегрирования по частям, находим: . (подынтегральная часть исчезает).

Повторив этот прием до тех пор, пока не исчезнет множитель , получим:

 

Умножим числитель и знаменатель полученного выражения на , тогда найдем:

 

.

 

Перейдем теперь к пределу при , на основании формул (3.11),

s