Бета- и гамма-функции

Дипломная работа - Математика и статистика

Другие дипломы по предмету Математика и статистика

Для того чтобы скачать эту работу.
1. Подтвердите что Вы не робот:
2. И нажмите на эту кнопку.
закрыть



рируя и дифференцируя последнее, найдем:

 

,

 

где А - некоторая постоянная. Если функция удовлетворяет еще условиям , то, подставляя в последнее уравнение z = 1, найдем А = 0, т.е. после потенцирования получим функциональное уравнение (3.1).

Таким образом, для любой целой периодической с периодом 1 функции соответствующая функция (если для нее ) удовлетворяет обоим условиям I и II.

Иными словами, условиям I и II удовлетворяет целый класс мероморфных функций. Простейшую из этих функций мы получим, если положим в (3.7) - она и называется гамма-функцией Эйлера и обозначается символом Г(z). Для логарифмической производной гамма-функции имеем, следовательно, разложение:

 

, (3.9)

 

где С - постоянная, которую мы сейчас определим. Проинтегрируем разложение (3.9) вдоль некоторого пути, соединяющего точку z = 0 с произвольной точкой и не одержащего точек , получим разложение логарифма гамма-функции:

 

. (3.10)

 

Постоянная С определяется условием Г(2)=1, которое мы наложили выше на гамма-функцию (второе условие Г(1)=1 имеет место при любом С в силу нашего выбора начала пути интегрирования).

Подставим в (3.10) z=1, получим:

 

.

 

Последнее произведение равно ; добавляя в сумму, стоящую под знаком предела, стремящейся к нулю член и заменяя еще через , получим:

(3.11)

 

Эта постоянная носит название постоянной Эйлера, ее приблизительное значение равно .

Из формулы (3.10) потенцированием получаем представление функции в виде бесконечного произведения

.

.

.

(3.12)

 

Полученное бесконечное произведение сходится для всех конечных z, для () это следует из доказанной сходимости ряда (3.9) и теоремы - для сходимости бесконечного произведения необходима и достаточна сходимость ряда при надлежащем выборе значений логарифмов. А для непосредственно видно, что она сходится к нулю.

3.2 Основные свойства

 

Перечислим основные свойства гамма-функции, которые мы получили при ее определении:

) Г(z) аналитична всюду, кроме целочисленных отрицательных точек и точки z=0.

) Г(z) удовлетворяет функциональному уравнению

 

Г (z+1)=zГ(z). (3.13)

 

или более общему

 

(3.14)

 

) При всех целых положительное значение Г (n+1) совпадает с n!

 

(3.15)

 

) Все полюсы гамма-функции первого порядка, причем вычет Г(z) в полюсе равен .

Из сходимости произведения (3.12) заключаем:

) Функция - целая, следовательно, гамма-функция не обращается в нуль.

Свойства 3) - 5) выясняют общий характер графика функции действительного аргумента . На рисунке 2 изображены графики функций и (пунктиром).

Максимумы и минимумы для отрицательных приближаются к нулю при , это связано с тем, что по свойству 4) вычет, т.е. коэффициент при главной части разложения в окрестности точки , сильно убывает с ростом :

 

 

Ниже приведен рельеф гамма-функции (рис. 3), т.е. поверхность с уравнением .

Ярко выраженные пики над точками соответствуют полюсам. Два семейства линий на поверхности представляют собой семейства линий равного модуля и равного аргумента, цифровые отметки на них указывают значения модуля и аргумента (последнее - в градусах).

Приведем еще несколько свойств гамма-функции. Наряду с соотношением (3.13) во многих вопросах полезно еще второе функциональное уравнение для гамма-функции:

) Для всех комплексных z

 

(3.16)

 

(при , б обе части равенства обращаются в бесконечность).

Для вывода этого соотношения подставим сначала в формулу (3.12), получим:

 

,(3.17)

затем заменим в той же формуле (3.12) z на - z:

 

.

 

Перемножив полученные произведения (это законно в силу их абсолютной сходимости), найдем:

 

.

 

Остается воспользоваться разложением в бесконечное произведение, и мы получим искомую формулу (3.16).

Отметим некоторые следствия полученных формул. Полагая в формуле (3.16), находим , откуда .

Применив теперь формулу (14), в которой положено найдем:

 

(3.18)

 

Полагая в (3.16) , будем иметь:

откуда по (3.18) получим формулу:

(3.19)

 

) Для всех z из правой полуплоскости

 

,(3.20)

 

где интегрирование производится по положительной полуоси t (Эйлер).

Для доказательства прежде всего заметим, что интеграл (3.20) сходится для всех z, для которых . В самом деле, , и мы видим, что при сходимость интеграла (для любого ) обеспечивается множителем , а при подынтегральная функция имеет порядок , так что для интеграл будет сходиться.

Далее, рассмотрим еще функцию ;

вводя здесь новое переменное интегрирования и применяя затем формулу интегрирования по частям, находим: . (подынтегральная часть исчезает).

Повторив этот прием до тех пор, пока не исчезнет множитель , получим:

 

Умножим числитель и знаменатель полученного выражения на , тогда найдем:

 

.

 

Перейдем теперь к пределу при , на основании формул (3.11), (3.12), (3.13) получим:

 

.

 

С другой стороны, так как при , то естественно ожидать, что

 

.(3.21)

 

и тогда формула (3.20) будет доказана.

Для доказательства последнего соотношения мы воспользуемся неравенством

 

при (3.22)

 

Оценим разность между предполагаемым пределом и :

 

.

 

В силу сходимости интеграла (3.20) для любого фиксированного найдется такой номер , что при

 

(3.23)

 

Фиксируем этот номер и для любого представим в виде

 

 

Для оценки первого слагаемого воспользуемся неравенством (3.22), получим:

 

,

откуда видно, что при достаточно больших (и фиксированном ) это первое слагаемое по модулю не превосходит .

Для второго слагаемого имеем:

 

 

(мы отбросили вычитаемое и увеличили интервал интегрирования, а затем воспользовались неравенством (3.23)). Модуль третьего слагаемого при любом не превосходит и, следовательно, . Соотношение (3.21) доказано, а значит, доказана и формула (3.20).

 

 

Список источников

 

  1. Балк М.Б., Виленкин Н.Я., Петров В.А. Математический анализ. Теория аналитических функций. - М.: Просвещение, 1985. - 159 с.
  2. Бермант А.Ф., Араманович И.Г. Краткий курс математического анализа. - М.: Наука, 1966. - 735 с.
  3. Бронштейн И.Н., Смендяев К.А. Справочник по математике для студентов вузов. - М., Наука. 1965. - 360 с.
  4. Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальные уравнения, Ряды. Функции комплексного переменного. - Ростов-н/Д. Феникс. 1997. - 511 с.
  5. Виленкин Н.Я., Куницкая Е.С, Мордкович А.Г., Математический анализ: интегральное исчисление. - М.: Наука, 1979. - 435 с.
  6. Виленкин Н.Я. Специальные функции. - М.: Наука, 1976. - 412 с.
  7. Краснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко Г.И. Интегральные уравнения. - М.: Наука, 1980. - 507 с.
  8. Лаврентье., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. - М.: Наука, 1973. - 620 с.
  9. Орлов Ф. Асимптотика и специальные функции. - М.: Наука, 1973 - 215 с.
  10. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление: т. 1, - М.: Интеграл-пресс, 2002. - 415 с.
  11. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 1, 2. - М.: Физматгиз, 1962. - 807 с.
  12. Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей: - М.: Наука, 1987. - 243 с.