Бета- и гамма-функции

Дипломная работа - Математика и статистика

Другие дипломы по предмету Математика и статистика

Скачать Бесплатно!
Для того чтобы скачать эту работу.
1. Пожалуйста введите слова с картинки:

2. И нажмите на эту кнопку.
закрыть



вие оправдывает перестановку интегралов, а с нею и формулу (2.8) - для случая а > 1, b > 1.

Если же известно лишь, что а > 0 и b > 0, то - по доказанному - имеем

 

В (а+1, b+1) = .

 

А отсюда, используя формулы привидения (1.2), (1.2') для функции В и (2.4) для функции Г, легко вновь получить формулу (2.8) уже без ненужных ограничений.

 

2.2.5 Формула дополнения

Если в формуле (2.9) положить b = 1-а (считая 0 < а < 1), то, используя формулы (1.5) и (2.6), получим соотношение:

 

В (а, 1-а) = = Г(а) Г (1-а)

В (а, 1-а) = ,

Г(а) Г (1-а) =

 

Эта формула называется формулой дополнения. При находим (так как Г(а)>0)

 

Г (). Г (1-) =

Г2 () = ,

Г () = . (2.11)

 

Если в интеграле сделать подстановку z= x2, то получим значение интеграла Эйлера-Пуассона:

 

= = = 2 = .

 

2.2.6 Формула Эйлера

В качестве применения формулы дополнения определим (вместе с Эйлером) величину произведения (где n - любое натуральное число)

 

Е = Г () Г () … Г () Г ().

 

Перепишем это произведение в обратном порядке

 

Е = Г () Г () … Г () Г (),

 

перемножим оба выражения:

 

Е2 =

и к каждой паре множителей применим формулу дополнения. Мы получим:

 

Е2 = = .

 

Теперь для вычисления произведения синусов рассмотрим тождество:

 

=

 

и устремим в нем , получим:

 

n =

 

или, приравнивая модули:

 

n = = =

= = =

= = = 2 sin = 2 n-1 ,

 

получили

= .

 

Подставляя это выражение для Е 2, окончательно получаем:

 

Е = = . (2.12)

 

2.2.7 Интеграл Раабе

С формулой дополнения связано и вычисление важного интеграла:

 

R0 = .

 

Заменяя а на 1 - а, можно написать:

 

R0 =

 

и, складывая это выражение с предыдущим и пользуясь вторым функциональным уравнением () для гамма-функции, получим:

 

R0 = R0 = + = =

= = = - =

= = - = - .

 

Второй из полученных интегралов после замены u = - переходит в , и объединяя его с первым, находим I = ln2 + 2I, откуда I =-ln2. Таким образом, получаем:

 

R0 = = + = . (2.13)

 

Раабе рассмотрел боле общий интеграл (при а>0):

 

R (a) = = а (ln a - 1) + . (2.14)

 

 

3. Другое определение функции Гамма

 

Для изучения глобальных свойств гамма-функции обычно пользуются интегральным представлением, что мы и делали в предыдущих параграфах. Но гамма-функцию можно представить и в виде ряда. Значение этой функции видно хотя бы из того, что она является естественным распространением факториала на дробные и даже комплексные значения аргумента. Это соображение мы и положим в основу другого определения гамма-функции.

 

3.1 Определение

 

Рассмотрим функциональное уравнение

 

, (3.1)

 

которому для всех целых неотрицательных значений удовлетворяет функция

 

(3.2)

 

Будем искать аналитическую функцию , удовлетворяющую уравнению (3.1) для всех комплексных z и, для определенности, равную 1 при (условие 1).

Надо заметить, что искомая функция для любых целых положительна. должна удовлетворять уравнению

 

.(3.3)

 

которое получается повторным применением формулы (3.1).

Полагая в соотношении (3.3) , получаем, что для всех целых положительное значение совпадает с .

Заменив в (3.3) и переписав это соотношение в виде

 

, (3.4)

 

мы видим, что искомая функция должна иметь полюса во всех целых неположительных точках (= 0, 1, 2, …). В самом деле, при числитель выражения (3.4) стремится к 1, а знаменатель к нулю. Из той же формулы (3.4) видно, что

 

(3.5)

 

Но мы знаем, что вычет в полюсе первого порядка определяется по формуле

 

.

 

В формуле (3.5) все полюсы - первого порядка, значит вычет в полюсе равен .

Мы предположим еще, что не имеет других особенностей, кроме z = 0, -1, -2, …, и нигде не обращается в нуль (условие II).

Тогда логарифмическая производная функции равна:

 

,

 

и будет мероморфной функцией, имеющей в точках z = 0, -1, -2, …, простые полюса с вычетами, равными -1.

Прологарифмируем формулу (3.3).

 

.

 

Продифференцируем полученную функцию:

 

.

 

Подставим здесь z = 0 и обозначим :

 

;

 

вычитая полученное равенство из предыдущего, найдем:

 

(3.6)

 

Ряд с общим членом

 

,

 

очевидно сходится при любом ибо отношение его общего члена к члену сходящегося ряда стремится к конечному пределу - z. Кроме того, в любой ограниченной области, начиная с некоторого , имеем , где М - некоторая постоянная, следовательно, этот ряд сходится равномерно. Таким образом, по теореме Вейерштрасса сумма ряда представляет собой функцию, аналитическую во всех конечных точках, кроме точек , где она имеет полюсы первого порядка с вычетом, равным -1.

Перейдем в формуле (3.6) к пределу при ; по только что доказанному существует предел , следовательно, существует и предел , который мы обозначим через . В пределе будем иметь:

 

(3.7)

 

Так как по доказанному имеет в точках полюсы первого порядка, то главные части ее логарифмической производной в этих полюсах равны . Отсюда следует, что функция должна быть целой. Очевидно, что и обратно, какова бы ни была целая функция , функция , определяемая по своей логарифмической производная будет удовлетворять условию II.

Условие I налагает на функцию дополнительное ограни

s