Бета- и гамма-функции

Дипломная работа - Математика и статистика

Другие дипломы по предмету Математика и статистика

Скачать Бесплатно!
Для того чтобы скачать эту работу.
1. Пожалуйста введите слова с картинки:

2. И нажмите на эту кнопку.
закрыть



при у = 0, так и при у = 1). Интегрируя почленно, получим:

I1 = = .

 

Интеграл I2 подстановкой приводим к виду

 

 

Применяя полученное выше разложение, найдем: I2 = .

Таким образом:

 

I = I1 + I2 = + .

 

Полученное выражение есть разложение на простые дроби функции . Окончательно получаем: = .

Таким образом, В (а, 1 - а) = (0 < а < 1). (1.5)

Если, в частности, взять а = 1 - а = , то получим:

 

В (;) = . (1.5а)

Функция Бета очень просто выражается через другую функцию Гамма, которую мы рассмотрим в следующем параграфе.

 

 

2. Функция Гамма

 

.1 Определение Эйлерова интеграла второго рода

 

Это название было присвоено Лежандром замечательному интегралу:

 

Г(а) = , (2.1)

 

который сходится при любом а > 0, так как особые точки и 0 (при а 1, имеем: = 0 при .

Следовательно, существует при а > 0. Интеграл (а) = определяет функцию Г (Гамма).

Функция Гамма, после элементарных, является одной из важнейших функций для анализа и его приложений. Глубокое изучение свойств функции Гамма, исходя из ее интегрального определения (2.1), послужит одновременно и прекрасным примером применения теории интегралов, зависящих от параметра. Положим в формуле (2.1) х = , найдем:

(а) = = =

= = - = .

 

Как известно, = , причем выражение при возрастании n стремится к своему пределу, возрастая. В таком случае, на основании предельного перехода под знаком интеграла, оправдано равенство: Г (а) = .

Если сделать подстановку z = yn, получим:

 

Г (а) = = =

= = .

 

Но, согласно формуле (1.3):

= В (а) = .

 

Таким образом, мы пришли к знаменитой формуле Эйлера-Гаусса:

 

Г (а) = na. (2.2).

 

В дальнейшем свойства функции Г мы будем извлекать из ее интегрального представления (2.1).

 

2.2 Свойства функции Гамма

 

2.2.1 Непрерывность

Функция Г (а) при всех значениях а > 0 непрерывна и имеет непрерывные производные всех порядков. Достаточно доказать лишь существование производных. Дифференцируя интеграл (2.1) под знаком интеграла, получим:

 

= . (2.3)

 

применение правила Лейбница оправдано тем, что оба интеграла и сходятся равномерно относительно а: первый при х = 0 для а а0 > 0 (мажоранта ), а второй сходится при х = для а А < (мажоранта хА е-х).

Таким же путем можно убедиться и в существовании второй производной

 

= (2.3*)

 

и всех дальнейших.

 

2.2.2 Основное функциональное уравнение

Из формулы (2.1) интегрированием по частям получаем:

 

a. Г (а) = а = =

= + = + =

= = Г (а + 1), то есть Г (а + 1) = а Г (а) (2.4)

 

Эта формула, повторно примененная, дает

 

Г (а+n) = (a+n-1) (a+n-2)… (a+1) a Г(а). (2.5)

 

Таким образом, вычисление Г для сколь угодно большого значения аргумента может быть приведено к вычислению Г для аргумента меньше 1.

Если в формуле (2.5) взять а = 1 и принять во внимание, что

Г(1)==1, (2.6)

 

то окажется, что

 

Г (n + 1) = n!. (2.7)

 

Функция Гамма является естественным распространением - на область любых положительных значений аргумента - факториала n!, определенного лишь для натуральных значений n.

 

2.2.3 Ход изменения функции Гамма

Теперь мы можем составить общее представление о поведении функции Г (а) при возрастании а от 0 до .

Из формул (2.6) и (2.7) имеем: Г(1) = Г(2) = 1, так что по теореме Ролля, между 1 и 2 должен лежать корень а0 производной Г'(а). Эта производная постоянно возрастает, ибо вторая производная Г''(а), как видно из ее выражения (2.3*), всегда положительна. Следовательно, при 0 0, так что Г(а) возрастает; при а = а0 налицо минимум, вычисление которого дает: а0 = 1,4616…, min Г (а) = Г (а0) = 0,8856.

Установим еще предел для Г (а) при приближении а к 0 или к . Из формул (2.6) [и из свойства 10] ясно, что Г (а) = при а . С другой стороны, ввиду (2.7) Г (а) > n!, лишь только а > n + 1, то есть Г(а) и при а .

 

2.2.4 Связь между функциями Бета и Гамма

Для того, чтобы установить связь между функциями В и Г, мы сделаем подстановку x = ty (t>0) в формуле (2.1) и получим:

 

Г (а) = = =

= = = .

 

Умножим обе части этого равенства на , получим:

 

. (2.8)

 

Заменяя здесь а на a + b и одновременно t на 1 + t, получим:

 

= .

 

Умножим теперь обе части этого равенства на ta-1 и проинтегрируем по t от 0 до :

 

Г (a+b) = .

В интервале слева мы узнаем функцию В (а, b) [см. 4]; справа же переставим интегралы. В результате получим [с учетом (2.7) и (2.1)]:

 

Г (а+b) В (а, b) = = = = = Г (а). Г (b).

 

Таким образом, получаем:

Г (а+b) В (а, b) = Г (а). Г (b), откуда, наконец,

 

В (а, b) = . (2.9)

 

Приведенный изящный вывод этого соотношения Эйлера принадлежит Дирихле. Но для его обоснования надо еще оправдать перестановку интегралов. Ограничимся поначалу предположением, что а > 1, b > 1. Тогда для функции ta-1 ya+b-1 e-(1+t)y оказываются выполнимыми все условия следствий интегрирования интеграла по параметру.

А именно: эта функция непрерывна и притом положительна для , а интегралы

 

= Г (а + b).

= Г (а) yb-1 e-y

в свою очередь представляют собой непрерывные функции: первый - от t для t0, второй - от у для у0. Ссылка на упомянутое следст

s