Бета- и гамма-функции

  Балк М.Б., Виленкин Н.Я., Петров В.А. Математический анализ. Теория аналитических функций. - М.: Просвещение, 1985. - 159 с. Бермант А.Ф., Араманович

Бета- и гамма-функции

Дипломная работа

Математика и статистика

Другие дипломы по предмету

Математика и статистика

Сдать работу со 100% гаранией

Введение

функция эйлер раабе гамма

В отличие от дифференцирования, интегрирование не есть действие, всегда позволяющее найти элементарную функцию, являющуюся первообразной от заданной элементарной функции. Строго доказано, что во многих случаях и не существует такого элементарного выражения для первообразной. Другими словами, можно указать элементарные функции, интегралы от которых не выражаются никакими конечными комбинациями основных элементарных функций. Про такие функции говорят, что они не интегрируемы в элементарных функциях (или не интегрируемы в конечном виде).

Рассмотрим разностное уравнение

 

Г (z+1) = z Г (z).

 

Несмотря на простую форму записи, в элементарных функциях это уравнение не решается. Его решение называется гамма-функцией. Гамма-функцию можно записать в виде ряда или в виде интеграла. Для изучения глобальных свойств гамма-функции обычно пользуются интегральным представлением. Гамма-функция тесно связана с бета-функцией. Обе эти функции определяют эйлеровы интегралы первого и второго рода, введённые великим математиком, физиком и астрономом Л. Эйлером (1707-1783 гг.). Ему принадлежат важнейшие работы по математическому анализу. Долгие годы живя в России, он оказал большое влияние на развитие отечественной математике.

Проблема исследования: При изучении темы «Интегральное исчисление» в педагогических вузах математических факультетов уделяется основное внимание технике вычисления первообразных функций, при этом у студентов складывается ошибочное представление, что большинство интегралов вычисляются через элементарные функции, хотя этот класс функций уже, и большая часть функций не выражается через элементарные функции. При вычислении некоторых из них используют эйлеровы интегралы.

Цель работы: Изучить бета- и гамма-функции, их свойства, связь между ними и научиться применять их для вычисления интегралов; показать эквивалентность двух разных определений гамма-функции.

Задачи: - изучение и систематизация литературы по теме «Эйлеровы интегралы»;

-показать, что гамма-функция является продолжением факториала;

-составление тестовых заданий и контрольных вопросов;

подбор и решение практических задач.

Объект исследования: явления окружающей действительности, для моделирования которых используются интегралы, вычисляемые через В-Г-функции.

Предмет исследования: Свойства бета- и гамма-функций и их применение.

 

 

1. Функция «Бета»

 

1.1 Определение функции «Бета»

 

Рассмотрим Эйлеров интеграл первого рода. Так называется (по предложению Лежандра) интеграл вида:

 

В (а, b) = , (1.1)

 

где a, b > 0. Он представляет функцию от двух переменных параметров а и b, или бета-функцию (функцию В).

Докажем, что данный интеграл (1.1) для положительных значений а и b (хотя бы и меньших единицы) сходится.

Доказательство. При а < 1 особая точка 0, при b < 1 особая точка 1. разложим предложенный интеграл на два, например, так:

 

.

 

Так как подинтегральная функция при х0 является бесконечно большой (если а < 1) порядка 1 - а, то первый интеграл сходится лишь при условии 1 - а < 1, то есть а > 0. аналогично, второй сходится при b > 0. Итак, интеграл (1) сходится в том и только в том случае, если одновременно а > 0, b > 0.

Так как рассматриваемый интеграл (1.1) сходится, следовательно, может быть положен в основу функции В.

Установим некоторые ее свойства.

 

1.2 Свойства функции «Бета»

 

а) Прежде всего, подстановкой х = 1 - t получаем:

В (а, b) = B (b, a),

так как функция В является симметричной относительно а и b.

б) С помощью интегрирования по частям из формулы (1.1) при b > 1, находим

 

В(а,b)=

=

= = =

= =

= =

= B (a, b-1) - B (a, b).

 

С помощью преобразований получим:

 

B (a, b) = B (a, b-1) - B (a, b).(a, b) + B (a, b) = B (a, b - 1)(a, b) = B (a, b - 1)(a, b) = B (a, b - 1) (a, b) = B (a, b - 1). (1.2)

 

Эту формулу можно применять с целью уменьшения b, пока b остается больше 1; таким образом, всегда можно достигнуть того, чтобы второй аргумент стал не больше 1.

Этого же результата можно добиться и в отношении первого аргумента, так как бета-функция является симметричной. Имеет место и другая формула приведения (а > 1):

 

B (a, b) = B (a - 1, b). (1.2)

 

Если b равно натуральному числу n, то, последовательно применяя формулу (1.2), найдем:

B (a, n) = B (a, 1).

Но B (a, 1) = .

Поэтому для B (a, n) и, одновременно, для B (n, а) получается окончательное выражение

 

B (n, а) = B (a, n) = . (1.3)

 

Если и а равно натуральному числу m, то

B (m, n) = .

Эту формулу можно применять и при m = 1 или n = 1, если под символом 0! Разуметь 1!.

в) Дадим для функции В другое аналитическое представление, которое часто бывает полезно. Если в интеграле (1.1) произвести подстановку , где у - новая переменная, изменяющаяся от 0 до , то и получим

B (a, b) = (1.4)

 

B (a, b) = = =

=

= = =

= = .

 

Таким образом

 

B (a, b) = (1.4)

 

г) Положим в формуле (1.4) b = 1 - а, считая, что 0< а < 1; мы найдем:

B (a, 1 - а) = .

Полученный интеграл также связан с именем Эйлера. Вычислим его.

Разобьем интеграл на два интеграла: I = = I1 + I2, вычислим их порознь.

Для 0 < х < 1 имеем разложение в ряд ,

этот ряд сходится равномерно лишь если 0 < у 1- ' < 1. Но частичная сумма имеет интегрируемую в [0, 1] мажоранту

 

,

 

следовательно, интеграл от нее сходится равномерно (как при у = 0, так и при у = 1). Интегрируя почленно, получим:

I1 = = .

 

Интеграл I2 подстановкой приводим к виду

 

 

Применяя полученное выше разложение, найдем: I2 = .

Таким образом:

 

I = I1 + I2 = + .

 

Полученное выражение есть разложение на простые дроби функции . Окончательно получаем: = .

Таким образом, В (а, 1 - а) = (0 < а < 1). (1.5)

Если, в частности, взять а = 1 - а = , то получим:

 

В (;) = . (1.5а)

Функция «Бета» очень просто выражается через другую функцию «Гамма», которую мы рассмотрим в следующем параграфе.

 

 

2. Функция «Гамма»

 

.1 Определение Эйлерова интеграла второго рода

 

Это название было присвоено Лежандром замечательному интегралу:

 

Г(а) = , (2.1)

 

который сходится при любом а > 0, так как особые точки ¥ и 0 (при а < 0). существует лишь при а > 0 (бесконечно малая порядка а - 1 по отношению к ). существует, каково бы ни было а, так как, взяв > 1, имеем: = 0 при .

Следовательно, существует при а > 0. Интеграл (а) = определяет функцию Г («Гамма»).

Функция «Гамма», после элементарных, является одной из важнейших функций для анализа и его приложений. Глубокое изучение свойств функции «Гамма», исходя из ее интегрального определения (2.1), послужит одновременно и прекрасным примером применения теории интегралов, зависящих от параметра. Положим в формуле (2.1) х = , найдем:

(а) = = =

= = - = .

 

Как известно, = , причем выражение при возрастании n стремится к своему пределу, возрастая. В таком случае, на основании предельного перехода под знаком интеграла, оправдано равенство: Г (а) = .

Если сделать подстановку z = yn, получим:

 

Г (а) = = =

= = .

 

Но, согласно формуле (1.3):

= В (а) = .

 

Таким образом, мы пришли к знаменитой формуле Эйлера-Гаусса:

 

Г (а) = na. (2.2).

 

В дальнейшем свойства функции Г мы будем извлекать из ее интегрального представления (2.1).

 

2.2 Свойства функции «Гамма»

 

2.2.1 Непрерывность

Функция Г (а) при всех значениях а > 0 непрерывна и имеет непрерывные производные всех порядков. Достаточно доказать лишь существование производных. Дифференцируя интеграл (2.1) под знаком интеграла, получим:

 

= . (2.3)

 

применение правила Лейбница оправдано тем, что оба интеграла и сходятся равномерно относительно а: первый при х = 0 для а а0 > 0 (мажоранта ), а второй сходится при х = для а А < (мажоранта хА е-х).

Таким же путем можно убедиться и в существовании второй производной

 

= (2.3*)

 

и всех дальнейших.

 

2.2.2 Основное функциональное уравнение

Из формулы (2.1) интегрированием по частям получаем:

 

a. Г (а) = а = =

= + = + =

= = Г (а + 1), то есть Г (а + 1) = а Г (а) (2.4)

 

Эта формула, повторно примененная, дает

 

Г (а+n) = (a+n-1) (a+n-2)… (a+1) a Г(а). (2.5)

 

Таким образом, вычисление Г для сколь угодно большого значения аргумента может быть приведено к вычислению Г для аргумента меньше 1.

Если в формуле (2.5) взять а =

Похожие работы

1 2 3 > >>