Беселеві функції

Курсовой проект - Математика и статистика

Другие курсовые по предмету Математика и статистика

Скачать Бесплатно!
Для того чтобы скачать эту работу.
1. Пожалуйста введите слова с картинки:

2. И нажмите на эту кнопку.
закрыть



бачити, якщо покласти й взяти ). Із сказаного випливає, що якщо на , те для всяких двох сусідніх нулів і () кожного ненульового рішення рівняння маємо .

Викладене показує, що якщо безперервно на й перевищує деяке позитивне число поблизу +∞, те кожне ненульове рішення рівняння має на нескінченно багато нулів. Якщо ще поблизу не звертається в нуль, то ці нулі утворять нескінченну зростаючу послідовність , що має межею +∞, а якщо, крім того, , де , те .

Розглянемо рівняння Беселя

 

 

на інтервалі . Підстановка приводить до рівняння

 

.

 

Очевидно, і мають ті самі нулі. Тому що , де ціла функція, то не має нулів на при досить малому , і тому що при , те при кожному нулі на утворять нескінченну зростаючу послідовність

 

причому .

Якщо , то задовольнить рівнянню

 

 

на інтервалі (0, +∞). Підстановка приводить до рівняння

 

 

і, отже, задовольняє цьому рівнянню. Таким чином, при будь-яких позитивних і маємо

 

, де ,

, де ,

 

звідки

 

,

 

отже,

 

, де .(22)

Нехай тепер . Розкладання по ступенях починається зі члена, що містить , розкладання по ступенях починається зі члена, що містить , тому що коефіцієнт при дорівнює нулю, що легко бачити, виходячи з формули (5). Отже, з (22) при одержимо

 

,

 

тобто

 

,(23)

 

звідки видно, що якщо і є різними нулями функції , те

 

.(23`)

 

Цим доведено, що при система функцій

 

 

на інтервалі є ортогональної щодо ваги .

Переходячи до межі при в співвідношенні

 

і використовуючи правило Лопиталя, одержимо при всякому

 

, (24)

 

отже, якщо є нулем функції , те

 

.(24`)

 

Таким чином, при кожному всякій безперервній функції на , що задовольняє вимозі

 

,

 

поставлений у відповідність ряд Фурє-Беселя

 

,(25)

 

коефіцієнти якого визначаються формулами

 

.(25`)

 

Можна довести, що система функцій на , ортогональна щодо ваги , замкнута. Зокрема, якщо ряд Фурє-Беселя (25) рівномірно сходиться до його безперервної функції, що породжує.

Можна показати, що якщо й безперервна на й функція, то ряд Фурє-Беселя цієї функції сходиться до неї при .

 

6. Асимптотичне подання Беселевих функцій із цілим індексом для більших значень аргументу

 

Нехай позитивна функція й яка-небудь функція для досить більших значень . Запис

 

при

 

означає, що найдуться такі числа й M, що при маємо .

Подібний запис уживається й в інших аналогічних випадках. Наприклад, якщо позитивна функція й яка-небудь функція, визначені для досить малих позитивних значень , то запис

 

при

 

означає, що найдуться такі числа й , що на .

Допоміжна лема

Якщо двічі безупинно диференцюєма на , то для функції

 

 

має місце асимптотичне подання

при .

 

Доведемо цю лему. Заміняючи на , одержимо:

 

.(26)

 

Розглянемо інтеграл, що фігурує в правої частини формули (20). Заміняючи на , знайдемо:

 

,

 

але, замінивши на , одержимо:

 

.

 

Якщо позитивно, убуває й прагнути до нуля при , то й , а отже, і є при , тому

 

при ,

 

звідки

 

при .

 

Отже, одержуємо асимптотичне подання:

 

при .(27)

 

Розглянемо тепер інтеграл, що фігурує в другому складати^ся правої частини формули (20). Маємо:

 

,

.

 

Очевидно, двічі безупинно на , але існують і , тому стає безупинно диференцуєма на . Інтегрування вроздріб дає:

 

,

 

де перший доданок правої частини є при , а інтеграл у другому мажорирується інтегралом, що складається при нижній межі

 

,

який сходиться, тому що

 

при ;

 

отже, другий доданок є теж при .

Отже, маємо:

 

при .(28)

 

З (26), (27), (28) одержуємо шукане асимптотичне подання:

 

при .(29)

 

Із цієї формули, переходячи до сполучених величин, знайдемо ще:

 

при .(29)

 

Формули (29) і (29`) вірні й для функцій .

Висновок асимптотичної формули для Jn(x)

Заміняючи на , одержимо:

 

(з огляду на, що є парна функція від , а є непарна функція від ). Підстановка дає:

 

,

 

де є, мабуть, поліном n-й ступеня (поліном Чебишева), тому що з формули Муавра видно, що є поліном n-й ступеня відносно . Але

 

 

і, заміняючи в першому із цих інтегралів на , одержимо:

 

 

Тому що й на мають похідні всіх порядків, то до двох останніх інтегралів застосовні формули (29) і (29`), і ми одержуємо:

 

;

 

але ; , отже,

.

 

Отже, маємо шукане асимптотичне подання беселевої функції першого роду із цілим індексом для більших значень аргументу:

 

при .(30)

 

Ця формула показує, що з точністю складається до порядку, що, є загасаючою гармонікою із хвилею постійної довжини й амплітудою, що убуває обернено пропорційно квадратному кореню з абсциси.

Зокрема,

 

при ;(30`)

при .(30)

 

Графіки цих функцій зображені ні малюнках 1 і 2.

Розглянемо кілька прикладів рішення рівняння Беселя.

1. Знайти рішення рівняння Беселя при

 

,

 

задовольняючим початковим умовам при

s