Беселеві функції

Курсовой проект - Математика и статистика

Другие курсовые по предмету Математика и статистика

Скачать Бесплатно!
Для того чтобы скачать эту работу.
1. Пожалуйста введите слова с картинки:

2. И нажмите на эту кнопку.
закрыть



;

3. Беселеві функції з напівцілим індексом

 

Беселеві функції, загалом кажучи, є новими трансцендентними функціями, що не виражаються через елементарні функції. Виключення становлять Беселеві функції з індексом , де ціле. Ці функції можуть бути виражені через елементарні функції.

Маємо:

 

,

,

 

отже,

.

 

Але , значить:

 

.(14)

 

Далі

 

,

,

 

отже,

 

.

 

Але , тому

 

.(15)

 

За допомогою (10) знаходимо:

,

 

а з огляду на (14)

 

,

 

отже, при цілому позитивному

 

.(14`)

 

За допомогою (11) знаходимо:

 

,

 

але в силу (15)

 

,

 

і, отже, при цілому позитивному

 

.(15`)

 

4. Інтегральне подання Беселевих функцій із цілим індексом

 

Виробляюча функція системи функцій

Розглянемо систему функцій (з будь-якою загальною областю визначення), пронумерованих за допомогою всіх цілих чисел:

 

 

Складемо ряд

 

,

 

де комплексна змінна. Припустимо, що при кожному (приналежному області визначення розглянутих функцій) цей ряд має кільце збіжності, що містить усередині себе одиничну окружність . Зокрема, це кільце може являти собою повну площину комплексної змінної без крапок 0 і?.

Функція

 

(16)

 

(де x лежить в області визначення функцій системи , усередині кільця збіжності, що відповідає розглянутому значенню ) називається виробляючою функцією системи .

Обернено, нехай задана функція , де пробігає деяку множину, перебуває усередині деякого кільця, що залежить від , із центром 0 і утримуючого усередині себе одиничну окружність. Тоді, якщо при кожному аналітичне відносно усередині відповідного кільця, тобто виробляюча функція деякої системи функцій. Справді, розклавши при кожному функцію в ряд Лорана по ступенях :

 

,

 

знайдемо, що система коефіцієнтів цього ряду буде шуканою системою .

Формули для коефіцієнтів ряду Лорана дозволяють виразити функції розглянутої системи через виробляючу функцію. Застосовуючи ці формули й перетворюючи потім інтеграл уздовж одиничної окружності в простий інтеграл, одержимо:

 

. (17)

 

Виробляюча функція системи Беселевих функцій із цілими індексами

Покажемо, що для системи Беселевих функцій першого роду із цілими індексами (…) виробляюча функція є:

 

.

 

Маємо:

 

, ,

 

звідки після по членного перемножування цих рівностей знайдемо:

 

(тому що в передостанній внутрішній сумі й були звязані залежністю , то ми могли покласти , одержавши підсумовування по одному індексі ). В останній внутрішній сумі підсумовування виробляється по всіх цілих , для яких , отже, при це буде ; при це буде . Таким чином, у всіх випадках внутрішня сума є в силу формул (5`) і (5```). Отже,

 

,(18)

 

але це й доводить, що є виробляюча функція для системи .

Виведемо деякі наслідки з формули (18). Думаючи в ній , одержимо:

 

,

 

звідки після поділу дійсної й мнимої частини (з огляду на, що )

(18`)

(18``)

 

Заміняючи в (18`) і (18``) на , знайдемо:

 

, (18```)

.(18````)

 

Інтегральне подання Jn(x)

Тому що, по доведеному, при маємо , те по формулі (17) одержуємо (використовуючи в перетвореннях формули Ейлера):

 

 

де прийнято в увагу, що є парна функція від є непарна функція від . Отже, доведено, що для будь-якого цілого числа

 

.(19)

 

Формула (19) дає подання Беселевих функцій із цілим індексом у вигляді певного інтеграла, що залежить від параметра . Ця формула називається інтегральним поданням Беселя для , права частина формули називається інтегралом Беселя. Зокрема, при знайдемо:

 

.(19`)

 

5. Ряди Фурє-Беселя

 

Розглянемо на якому-небудь інтервалі (кінцевому або нескінченному) два диференціальних рівняння

 

, ,(20)

 

де й безперервні функції на . Нехай і ненульові рішення цих рівнянь. Множення на й на й наступне вирахування дають

 

.

 

Нехай і належать і , тоді після інтегрування в межах від до одержимо

 

.(21)

 

Якщо й сусідні нулі рішення , то між і зберігає постійний знак, нехай, наприклад, на (, ) (у противному випадку варто замінити на ), тоді , (рівність нулю виключено, тому що ненульове рішення диференціального рівняння другого порядку). Якщо на , то повинна, принаймні, раз звертатися в нуль між і , тому що інакше збереже постійний знак на (,). Нехай, наприклад, на (,) (у противному випадку заміняємо на ), і тоді з (21) одержимо протиріччя, тому що ліва частина ≤0, а права >0. У такий спосіб доведена теорема порівняння Штурму: якщо P(x)<Q(x) на розглянутому інтервалі I і якщо y і z ненульові рішення рівнянь (20), те між кожними двома сусідніми нулями y(x) перебуває принаймні один нуль z(x).

З теореми порівняння Штурму випливають нижченаведені наслідки. Якщо на , то кожне ненульове рішення рівняння може мати на не більше одного нуля (це легко бачити, якщо покласти й взяти ). Якщо на (де ), то для всяких двох сусідніх нулів і () кожного ненульового рішення рівняння маємо (це легко бачити, якщо покласти , взяти й помітити, що нулями будуть тільки числа виду , ціле). Якщо на (де ), то для всяких двох сусідніх нулів кожного ненульового рішення рівняння маємо (це легко

s