Беселеві функції

Курсовой проект - Математика и статистика

Другие курсовые по предмету Математика и статистика

Скачать Бесплатно!
Для того чтобы скачать эту работу.
1. Пожалуйста введите слова с картинки:

2. И нажмите на эту кнопку.
закрыть



 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Курсова робота

"Беселеві функції"

 

 

1. Беселеві функції з будь-яким індексом

 

Рівняння Лапласа в циліндричних координатах

Щоб пояснити походження Беселевих функцій, розглянемо рівняння Лапласа в просторі:

 

.(1)

 

Якщо перейти до циліндричних координат по формулах:

 

, , ,

 

те рівняння (1) прикмет наступний вид:

 

.(2)

:

,

 

Нехай є рішення згаданого виду. Підставляючи його в (2), одержимо:

 

,

 

звідки (після ділення на )

 

.

Записавши це у вигляді:

 

,

 

знайдемо, що ліва частина не залежить від , права не залежить від , ; отже, загальна величина цих виражень є деяка постійна . Звідси:

 

; ;

; ;

.

 

В останній рівності ліва частина не залежить від , права не залежить від ; отже, загальна величина цих виражень є деяка постійна . Звідси:

 

, ;

, .

 

Таким чином, , , повинні задовольняти лінійним диференціальним рівнянням другого порядку:

 

,

(3)

, ,

 

з яких друге й третє є найпростіші лінійні рівняння з постійними коефіцієнтами, а перше є лінійним рівнянням зі змінними коефіцієнтами нового виду.

Обернено, якщо , , задовольняють рівнянням (3), тобто рішення рівняння (2). Справді, підставляючи в ліву частину (2) і ділячи потім на , одержимо:

 

.

 

Таким чином, загальний вид всіх трьох рішень рівняння (2), які є добутком трьох функцій, кожна з яких залежить від одного аргументу, є , де , , будь-які рішення рівнянь (3) при будь-якому виборі чисел , .

Перше з рівнянь (3) у випадку , називається рівнянням Беселя. Думаючи в цьому випадку , позначаючи незалежну змінну буквою (замість ), а невідому функцію буквою (замість ), знайдемо, що рівняння Беселя має вигляд:

 

.(4)

 

Це лінійне диференціальне рівняння другого порядку зі змінними коефіцієнтами відіграє більшу роль у додатках математики. Функції, йому задовольняючі, називаються Беселевими, або циліндричними, функціями.

Беселеві функції першого роду

Будемо шукати рішення рівняння Беселя (4) у вигляді ряду:

 

.

Тоді

 

,

,

,

.

 

Отже, приходимо до вимоги

 

 

або до нескінченної системи рівнянь

 

,

 

яка розпадається на дві системи:

 

 

Перша з них задовольниться, якщо взяти … У другій системі можна взяти довільно; тоді … однозначно визначаються (якщо не є цілим негативним числом). Взявши

 

,

 

знайдемо послідовно:

 

,

,

,

 

і як рішення рівняння (4) одержимо ряд:

 

 

Цей ряд, що формально задовольняє рівнянню (4), сходиться для всіх позитивних значень і, отже, є рішенням рівняння (4) в області (у випадку цілого в області ).

Функція

 

(5)

називається бесселевой функцією першого роду з індексом . Вона є одним з рішень рівняння Беселя (4). У випадку цілого ненегативного індексу одержимо:

 

,(5`)

 

і, зокрема,

 

.(5``)

 

Загальне рішення рівняння Беселя

У випадку нецілого індексу функції і є рішеннями рівняння (4). Ці рішення лінійно незалежні, тому що початкові члени рядів, що зображують ці функції, мають коефіцієнти, відмінні від нуля, і містять різні ступені . Таким чином, у випадку нецілого індексу загальне рішення рівняння Беселя є:

 

. (6)

 

Якщо (ціле негативне число), то функція, обумовлена формулою (5) (з огляду на, що дорівнює нулю для …), приймає вид:

 

(5```)

 

або, після заміни індексу підсумовування на ,

,(7)

 

звідки видно, що задовольняє разом з рівнянню Беселя

 

.

 

Але формула (6) у випадку цілого вже не дає загального рішення рівняння (4).

Думаючи

 

( не ціле)(8)

 

і доповнюючи це визначення для (ціле число) формулою:

 

,(8`)

 

одержимо функцію , що задовольняє рівнянню Беселя (4) і у всіх випадках лінійно незалежну від (у випадку , де ціле). Функція називається беселевою функцією другого роду з індексом . Загальне рішення рівняння Беселя (4) можна записати у всіх випадках у вигляді:

 

.(9)

 

2. Формули приведення для Беселевих функцій

 

Маємо:

; ;

, ;

.

 

Отже,

 

.(10)

 

Таким чином, операція (що складається в диференціюванні з наступним множенням на ), застосована до , підвищує в цьому вираженні індекс на одиницю й міняє знак. Застосовуючи цю операцію раз, де будь-яке натуральне число, одержуємо:

 

.(10`)

 

Маємо:

 

;

Отже,

 

.(11)

 

Таким чином, операція , застосована до , знижує в цьому вираженні індекс на одиницю. Застосовуючи цю операцію раз, одержуємо:

 

.(11`)

 

З виведених формул можна одержати деякі наслідки. Використовуючи (10), одержимо:

 

; ; .

 

Звідси, зокрема, треба, що . Використовуючи (11), одержимо:

 

; ; .

 

По членне додавання й вирахування отриманих рівностей дає:

 

,(12)

.(13)

Формула (13) дозволяє виразити всі Беселеві функції із цілими індексами через , . Дійсно, з (13) знаходимо (думаючи ):

 

, (13`)

 

звідки послідовно одержуємо:

 

,

, …………………

 

s