Бернулли

Информация - Математика и статистика

Другие материалы по предмету Математика и статистика

Для того чтобы скачать эту работу.
1. Подтвердите что Вы не робот:
2. И нажмите на эту кнопку.
закрыть



f.

Когда АР обращается в АВ, обе ординаты РN и РО обращаются в нуль, а когда АР обращается в Аb, ординаты обращаются в bf и bg. Значит, ординаты bf и bg являются дифференциалами кривых АNВ и СОВ в точках В и b. Поэтому для нахождения искомого значения bd иди ВD нужно дифференциал числителя разделить на дифференциал знаменателя, положив х=а=Аb или АВ, что и требовалось найти, заключает Лопиталь.

В следующем параграфе правило применяется к нахождению предельного значения

y = (√2a3x x4 - a√a2x)/(a - √ax3) при х=а.

Лопиталь пишет: нужно дифференциал числителя разделить на дифференциал знаменателя, положив х=а. Получим число 16а/9 для искомой величины ВD.

В августе 1704 г., вскоре после смерти Лопиталя, И. Бернулли выступил с первым печатным заявлением, в котором предъявил претензии на описанные в Анализе методы. Это была заметка Усовершенствование моего опубликованного в “Analyse des infiniment petits” 163 метода для определения значения дроби, числитель и знаменатель которой иногда исчезают. Здесь И. Бернулли рассказал, что правило он сообщил в письме Лопиталю лет 10 назад, а также решил пример, помещенный в 164, который французские математики и Лопиталь решить не могли. В той же заметке И. Бернулли, движимый любовью к истине, отметил, что иногда однократное применение правила к цели не приводит, получается опять неопределенность вида 0/0, поэтому его приходится применять еще один или несколько раз.

Одновременно с развитием дифференциального и интегрального исчислений шла разработка методов решения дифференциальных уравнений. В интегрировании уравнений первого порядка были достигнуты значительные успехи. В Математических лекциях о методе интегралов и о других вопросах, написанных для маркиза Лопиталя решено однородное уравнение dy/dx=f(y/x) подстановкой у=хt. Там же изложен метод приведения к однородному уравнения dy/dx=f((ax+by+c/(a1x + b1y + c1)) подстановками x = ξ + h, у = η +h; при этом не упомянут случай ab1-a1b=0. В Лекциях И. Бернулли применил интегрирующий множитель к уравнению ахdууdх=0. Он умножил члены уравнения на уa-1/x2 и получил d(ya/x;)=0, откуда уa=bх. Непосредственное разделение переменных в этом уравнении И. Бернулли не выполнил, так как считал, что в соответствии с формулой ∫хndх=хп+1/(n+1) будет ∫dx/x=∞. (Как известно, впоследствии он выражал этот интеграл через ln x.)

В письме Лейбницу 4 сентября 1696 г. И. Бернулли показал, что уравнение Бернулли dy/dx=р(х)у+q(х)уn сводится заменой у1-n=z к линейному. Из письма Лейбницу в том же году следует, что И. Бернулли проинтегрировал уравнение у=хφ(dу/dх)+ψ(dу/dх), называемое теперь уравнением Лагранжа. Около 1700 г. И. Бернулли применил интегрирующий множитель xk для последовательного понижения порядка уравнения Эйлера

а0хndпу/dхn+а1хп-1dп-1у/dхn-1+ … +аn-1хdу/dх+аny=0.

Помимо этого И. Бернулли занимался еще уравнением Риккати и задачей о колебании струны.

Статья И. Бернулли Общий способ построения всех дифференциальных уравнений первого порядка содержит идею метода изоклин, применяемого при графическом решении уравнений первого порядка. Существо вопроса состоит в следующем. Общему решению у=f(x; С) дифференциального уравнения первого порядка у=f(х; у) на плоскости соответствует семейство интегральных кривых. Само уравнение определяет в каждой точке плоскости значение у, т. е. угловой коэффициент касательной к интегральной кривой в этой точке. Если всюду на плоскости задается значение некоторой величины, то говорят о поле этой величины. Значит, дифференциальное уравнение задает поле уравнений, а задача нахождения общего решения уравнения состоит в отыскании кривых, для которых направления касательных совпадают с направлениями поля.

III

 

Третий гениальный представитель рода Бернулли, Даниил, занимает среди Бернулли и в науке особое место. Особенность эта объясняется, во-первых, разносторонностью его научных интересов и значительностью полученных им результатов практически во всех областях точного естествознания своего времени, во-вторых, прикладной направленностью исследований. В книгах, в какой-либо мере связанных с историей науки, Даниила Бернулли называют по-разному: физиологом, астрономом, физиком, математиком, механиком, гидродинамиком. И не без основания: Д. Бернулли вместе с Л. Эйлером, И. Бернулли, Ж. ДАламбером, Ж. Лагранжем и другими выдающимися математиками и механиками XVIII в. создавал основы классической науки.

В очерке о роде Бернулли говорилось, что в 1723 г. Д. Бернулли отправился в Венецию для занятия медициной под руководством итальянского врача П. А. Микелотти. За два года до приезда Д. Бернулли в Венеции была опубликована физико-механико-медицинская диссертация Микелотти О разделении жидкостей в теле животного, в которой рассматривались вопросы гидродинамики живых организмов. Она вышла в одном переплете со вторым изданием медицинской диссертации И. Бернулли О движении мускулов, что свидетельствовало о научном авторитете Бернулли среди итальянских ученых и благоприятствовало деятельности Д, Бернулли в Венеции.

С помощью одного знатного венецианца Д. Бернулли в 1724 г. издал Математические упражнения (Даниила Бернулли из Базеля, сына Иоганна, некоторые математические упражнения), направленные в защиту идей отца и дяди от нападок некоторых итальянских ученых. Книга представляет как бы обзор научной деятельности автора за предыдущие годы и содержит многие идеи, развитые им впоследствии. Через год некоторые результаты были опубликованы в Acta Eruditorium и стали достоянием более широкого круга ученых.

Математические упражнения состоят из четырех разделов: три посвящены математике, один (второй) приложениям математики к гидравлике и медицине. В части книги, связанной с математикой, Бернулли полимезирует с итальянскими математиками (Д. Ризетти, Д. Риккати и др.) по разрабатываемой в то время чистой математике. Здесь содержится много ссылок на работы, помещенные в разное время в Acta Eruditorium; это служит свидетельством того, что автор был в курсе новейших открытий. Наиболее значима часть книги, посвященная исследованию дифференциального уравнения Риккати.

Развитие математики в первой половине XVIII в. характеризовалось тем, что наряду с детальным рассмотрением различных классов функций наблюдалось дальнейшее исследование дифференциальных уравнений и применение их к задачам механики, дифференциальной геометрии, вариационного исчисления. Уравнения интегрировались как в конечном виде, так и с помощью рядов.

Ко времени опубликования Математических упражнений в работах Лейбница, Я. и И. Бернулли были найдены способы интегрирования однородных и линейных уравнений первого порядка, а также уравнений Я. Бернулли.

y=f(х; у), в котором правая часть является функцией отношения у/х. В 1693 г. Лейбниц нашел метод сведения таких уравнений к уравнениям с разделяющимися переменными подстановкой у=их.

Линейное уравнение первого порядка имеет вид у+Р(х)у=Q(х).

Метод решения таких уравнений, когда функция у отыскивается в виде произведения двух новых функций (у=иу), был разработан примерно в то же время и также Лейбницем. Уравнение вида

y+Р(х)у=Q(х)уп предложил Я. Бернулли. Оно в 16961697 гг. было решено тем же методом, что и линейное, Лейбницем, Я. и И. Бернулли; кроме того, Лейбниц и И. Бернулли показали, что оно сводится к линейному подстановкой y1-n=z

К некоторым уравнениям применялся также интегрирующий множитель. Я. Бернулли предложил прием понижения порядка к уравнению второго порядка, не содержащему явно одной из переменных, заменой y=p. Работа Я. Бернулли увидела свет позднее, после того как Риккати в 1715 г. опубликовал свое исследование о том же методе.

В 1694 г. в Асtа Eruditorium И. Бернулли поместил небольшую статью, в которой упоминалось уравнение тина Риккати. Он писал: Я еще не выяснил, можно ли разрешить дифференциальное уравнение х2dх + у2dх = d2у. После этой публикации уравнением y=у2+х2

заинтересовался Я. Бернулли, о чем свидетельствуют его письма Лейбницу в 16971704 гг. Я бы хотел далее от тебя узнать, пытался ли ты исследовать dу=у2dх+х2dх, писал Я. Бернулли Лейбницу 27 января 1697г. Я делал множество попыток, но решение этой задачи постоянно ускользало от меня. Кстати, я вспоминаю другое уравнение dу=у2dх+х2dх, писал он Лейбницу 15 ноября 1702 г., в котором мне не удалось разделить переменные так, чтобы уравнение осталось просто дифференциальным; но я разделил их сведением к следующему дифференциальному уравнению: d2у:у=-х2dx2.

Хотя Я. Бернулли не удалось решить уравнение в конечном виде, интерес к нему у математиков утих. Лишь в 1724 г. граф Джакопо Риккати в Дополнении VIII к Асtа Eruditorium поставил задачу: для уравнения у=ахп+bу2 (а и b постоянные) найти значения п, при которых оно допускает разделение переменных. Ею занялись Иоганн I, Николай I, Николай II и Даниил Бернулли, но, кроме Даниила, существенных результатов никто не получил.

Д. Риккати свое решение в упомянутом дополнении выразил в виде анаграммы.

В том же выпуске Асta Eruditorum была помещена заметка Д. Бернулли, в которой он написал, что уравнение ахndх+ииdх=bdи считается неразрешимым.

Бернулли приступил к исследованию уравнения и вскоре опубликовал свои результаты в Математических упражнениях. Он установил, что уравнение Риккати допускает интегрирование в конечном виде в случаях n= -4k/(2k1) (kцелое число).

Случай п=2 рассмотрел Эйлер. В 1841 г. Лиувилль доказал, что в случаях, отличных от указанных Д. Бернулли и Эйлером, решение уравнения Р