Бернулли

Информация - Математика и статистика

Другие материалы по предмету Математика и статистика

Скачать Бесплатно!
Для того чтобы скачать эту работу.
1. Пожалуйста введите слова с картинки:

2. И нажмите на эту кнопку.
закрыть



в зарождавшегося тогда математического анализа отражает современная терминология: название интегральное исчисление (от латинского integer целый, откуда и старинное русское целственный анализ) ввел И. Бернулли. Как известно, Лейбниц предпочитал называть интеграл суммой. Это впоследствии породило знак интеграла ∫, который представляет собой вытянутую букву S первую букву латинского слова summa.

И. Бернулли занимался приложением рядов к интегрированию и на этом пути открыл общую формулу разложения в ряд интеграла от функции n(z) по степеням аргумента:

 

∫ n(z)dz = nz z2/2 * dn/dz + z3/6 * d2n/dz2 z4/24 * d3n/dz3 + …

 

В “Acta Eruditorium” за 1697 г. И. Бернулли поставил задачу о кривых, пересекающих некоторое плоское семейство однопараметрических линий под данным углом или под углом, меняющимся по определенному закону. В первом случае траектории называются изогональными, а если угол прямой, то ортогональными. И. Бернулли указал на возможность применения полученных закономерностей в теории света Гюйгенса. Через год он показал, что задача отыскания траекторий сводится к дифференциальному уравнению первого порядка.

Николай II Бернулли, сын И. Бернулли, в 1720 г. сформулировал задачу о взаимных траекториях, т. е. о траекториях, относящихся к тому же семейству кривых, что и кривые данного семейства. Этой задачей занимался И. Бернулли. Он в 1727 г. в качестве семейства взаимных траекторий назвал полукубические параболы y3 = ax2.

Лейбниц и И. Бернулли нашли метод интегрирования рациональных дробей, которые после выделения целой части они представляли в виде суммы простейших дробей. Осуществление этого метода стало возможным лишь тогда, когда сформировалось понятие логарифмической функции. В связи с интегрированием рациональных дробей в анализ вошли комплексные числа и возник спор о логарифмах отрицательных чисел.

В письмах Лейбницу 1702 г. И. Бернулли заметил, что рациональные дроби должны интегрироваться в рациональных, логарифмических и круговых функциях.

Представляет особый интерес работа Решение одной задачи интегрального исчисления, напечатанная в ”Memoires” Парижской академии наук за 1702 г. (1704) и в “Acta Eruditorium” за 1703 г., в которой И. Бернулли рассмотрел случай действительных различных корней знаменателя рациональной дроби и в отличие от Лейбница, давшего готовые формулы, показал, как получать коэффициенты, вначале полагаемые неопределенными. Здесь же И. Бернулли заметил следующее важное качество. Подобно тому как дифференциал dz/(1-z2) с помощью подстановки z = (t-1)/(t+1) переходит в логарифмический дифференциал dt/2t, так и дифференциал действительного кругового сектора dz/(1 + z2) с помощью мнимой подстановки z = √-1(t-1)/(t+1) переходит в мнимый дифференциал -dt/2√-1t. Кроме того, очевидно, что dz/(1+z2) = 0,5dz/1 + z√-1 + 0,5dz/1 - z√-1

т. е. дифференциал действительного кругового сектора равен сумме дифференциалов мнимых логарифмов. Отсюда И. Бернулли сделал вывод, что мнимые логарифмы заменяют действительные круговые секторы.

Соотношением dz/(1+z2) = -dt/2√-1t по существу была установлена связь между функциями Arctg(z) и Ln t = ln (1 - z√-1)/(1 + z√-1). Но эту связь И. Бернулли не получил, так как не стал интегрировать уравнение, а выполнил еще одну подстановку

t = (√-1 + √1/r 1)/(√-1 - √1/r 1), что дало выражение дифференциала арксинуса действительного аргумента через дифференциал мнимого логарифма.

Работа И. Бернулли, опубликованная в “Acta Eruditorium” за 1712 г., содержала продолжение того же исследования: в ней И. Бернулли проинтегрировал рациональную дробь с мнимым аргументом. Он решил дифференциальное уравнение

ndx/(x2 + 1) = dy/(y2 + 1), предварительно разложив дроби по указанному способу, и получил (x - √-1)n(y + √-1) = (x + √-1)n(y - √-1).

Продвижению вперед в применении мнимых чисел к анализу препятствовали неясности, связанные с понятием логарифма. Свидетельство этому развернувшаяся между Лейбницем и И. Бернулли дискуссия о природе логарифмов отрицательных чисел.

В 1712 г. Лейбниц выступил со статьей, где, обсуждая парадокс Арно 1/-1 = -1/1, сказал, что отрицательным отношениям не соответствуют никакие логарифмы, поскольку положительным логарифмам соответствуют числа больше единицы, а отрицательным правильные положительные дроби. Поэтому логарифм числа 1 не будет истинным, он мнимый. И еще: если бы этот логарифм был действительным, то его половина стала бы также действительной, т. е. действительным был бы логарифм мнимого числа √-1 а это неверно.

И. Бернулли возражал Лейбницу; он считал, что логарифмы отрицательных чисел действительны, и полагал lg (-a) = lg а, так как lg (-1) = 0. Он основывался на том, что из тождества d(-х)/-х=dх/х следует d lg (-х) = d lg х, т. е. lg (-x) = lg х. Приводились и другие аргументы.

Перечислим некоторые частные результаты И. Бернулли. Он получил и опубликовал в 1701 г. разложения sin n и cos n по произведениям степеней sin n и cos n . Он первый обнаружил и доказал расходимость гармонического ряда. До сих пор в учебной литературе находит себе место парадокс И. Бернулли. Запишем таблицу

1/1*2 1/2*3 1/3*4 1/4*5...

1/2*3 1/3*4 1/4*5...

1/3*4 1/4*5...

…………………………….

Просуммируем по строкам; найдем

S1 = 1/1*2 + 1/2*3 + 1/3*4 + 1/4*5+...= 1 Ѕ + Ѕ - 1/3 + 1/3 ј + … = 1,

S2 = Ѕ - 1/3 + 1/3 - ј +... = 1/2

S3 = 1/3 ј + ј - 1/5 + … = 1/3

…………………………………….

Обозначим сумму строк буквой S:

S=S1+S2+S3+…=1 + Ѕ + 1/3 + ...

Просуммируем теперь столбцы и сложим результаты; получим

1=1/2, 2=1/3, 3=1/4, …; 1+2+3 + … =1/2+1/3+1/4+ ... = S-1

Получается парадокс: S=S1. Все объясняется просто: мы оперируем с расходящимся гармоническим рядом, не имеющ

s