Сравнения второй степени с одним неизвестным

Неопределенные уравнения первой степени стали записывать и решать в форме сравнений значительно позднее, начиная с Гаусса. Он впервые систематизировал теорию

Сравнения второй степени с одним неизвестным

Курсовой проект

Математика и статистика

Другие курсовые по предмету

Математика и статистика

Сдать работу со 100% гаранией

Введение

 

Методы теории сравнений широко применяются в различных областях науки, техники, экономики. Этот раздел алгебры занимает важное место в вузовском образовании математиков, физиков и других специалистов, однако очень часто изучается недостаточно глубоко. Задача данной курсовой работы - изучить теоретический материал и рассмотреть ряд основополагающих задач по одному из основных разделов теории чисел: сравнения высших степеней, двучленные сравнения высшей степени, n≥2, с одним неизвестным, по простому и составном модулям и т.д.

Основная часть курсовой работы состоит из четырех глав. Вторая глава состоит из 4 параграфов. В первом параграфе раскрывается краткий исторический обзор возникновения развития числовых сравнений и сравнений высших степеней с одним неизвестным. Во втором параграфе рассматриваются определение сравнения n-й степени, n≥2, с одним неизвестным, его решения, свойства решений.

В третьем параграфе рассматриваются методы решения сравнений высшей степени, n≥2, с одним неизвестным. Далее рассматриваются двучленные сравнения высшей степени, n≥2, с одним неизвестным, по простому и составному модулям.

В практической части приводятся примеры решения текстовых задач, которые решаются с помощью сравнений.

В работе приводится список литературы по теме « Сравнения второй степени с одним неизвестным».

Цель:

Изучить теоретический материал по теме «Сравнения второй степени с одним неизвестным», развить умение применять знания в решении практических заданий, развить интерес к изучению математики.

Задачи:

Изучить краткий исторический обзор возникновения развития числовых сравнений и сравнений высших степеней с одним неизвестным, Определение сравнения n-й степени, n≥2, с одним неизвестным, изучить методы решения сравнений высшей степени, n≥2, с одним неизвестным, рассмотреть двучленные сравнения высшей степени, n≥2, с одним неизвестным, по-простому и составному модулям, применить знания для решения практических заданий.

 

§1. Краткий исторический обзор возникновения и развития числовых сравнений и сравнений высших степеней с одним неизвестным

 

Важное место в курсе теории чисел имеют сравнения, и, тем более, сравнения высших степеней. Но до того как они начали развиваться, математики разных стран на протяжении ста лет изучали уравнения первой степени.

Уравнения первых степеней начали изучать еще индусские математики приблизительно с V столетия. Некоторые уравнения с двумя и тремя неизвестными появились в связи с проблемами, которые возникли в астрологии. Например, при рассмотрении вопросов, связанных с определением периодического появления небесных явлений.

В другом издании книги французского математика Баше де Мезирьяка Problemis plaisans et delectables que se font par les nombres, которая вышла в 1624 году, рассматривается неопределенное уравнение ax+by=c .

Баше де Мезирьяк фактически применяет процесс, который приводит к последующему вычислению неполных частей и рассмотрения дополнительных дробей. Но он не рассматривал непрерывные дроби как таковые.

Известная работа Баше де Мезирьяка оказала сильное влияние на развитие теории чисел, так как способствовала возникновению интереса к этой области математики.

Цепные дроби к решению таких уравнений были применены Лагранжем, который, однако, акцентирует внимание на то, что это фактически тот же способ, который был дан Баше де Мезирьяком и другими математиками, которые разглядели неопределенное уравнение до него.

Неопределенные уравнения первой степени стали записывать и решать в форме сравнений значительно позднее, начиная с Гаусса. Он впервые систематизировал теорию и определил понятие сравнения в своей книге Disquisitiones arithmeticae («Достижения в арифметике»). В «Disquisitiones arithmeticae» Гаусс изложил всё существенное, что было известно в теории чисел до него, но часто исходя из более общих и более принципиальных соображений. Кроме того, «Disquisitiones arithmeticae» в четвёртом, пятом и седьмом своих разделах содержат три крупнейших открытия самого Гаусса: доказательство квадратичного закона взаимности, композицию классов и родов квадратичных форм и теорию деления круга. Квадратичный закон взаимности является центральной теоремой теории квадратичных вычетов, доказательство которой долго и безуспешно пытались получить крупнейшие математики того времени. Исследования Гаусса по квадратичному и, позже, по биквадратичному закону взаимности послужили исходным пунктом длинного ряда работ, приведших в конечном итоге к отысканию общего закона взаимности, представляющего собой одну из важных теорем теории алгебраических чисел.

Отношение, называемое сравнением, было введено К.Гауссом (1777-1855). К. Гаусс создаёт теорию сравнений, называемую иначе арифметикой остаточных классов, с помощью которой были доказаны теорема о том, что простое число является суммой двух квадратов тогда и только тогда, когда оно имеет вид 4n + 1, и теорема о представимости каждого натурального числа суммой четырёх квадратов целых чисел. Кроме того, теория сравнений привела к важным понятиям теоретико-числового характера и тригонометрической суммы. Простейшим характером является символ Лежандра.

К. Гаусс изучил свойства квадратичных вычетов и невычетов. Основной теоремой в этом круге вопросов является так называемый квадратичный закон взаимности. Первое крупное сочинение Гаусса по теории чисел и высшей алгебре - "Арифметические исследования" (1801) - во многом предопределило дальнейшее развитие этих дисциплин. Гаусс даёт здесь обстоятельную теорию квадратичных вычетов, первое доказательство квадратичного закона взаимности - одной из центральных теорем теории чисел.

"Квадратичный закон взаимности", открытый эмпирически Эйлером (ок. 1772) и доказанный Гауссом (1801), утверждает, что если p и q - различные нечетные простые числа, то каждое из них или является квадратичным вычетом по модулю другого, или это не верно ни для одного из них за исключением случая, когда и p, и q имеют вид 4k + 3 и когда лишь одно из этих чисел является квадратичным вычетом по модулю другого. Теорема Гаусса, названная им "золотой теоремой", служит мощным инструментом теоретико-числовых исследований и позволяет ответить на вопрос, разрешимо ли данное квадратичное сравнение.

Система n-уравнений с n-неизвестными изучались Гауссом. Полное исследование систем линейных сравнений было представлено в работах Фробениуса и Стейница в конце XIX столетия.

Итак, сравнения высших степеней были положены в основу модульного представления числа, которые широко использовались в современной криптографии, и которые до сих пор актуальны в наше время высоких технологий. Большое внимание этому вопросу уделили такие ученые-исследователи, как Риверс, Адельман и Ширман.

Особая трудность, которую во все времена были отмечены задачи теории чисел, заставляла исследователей искать все новые методы в этой ветви математической науки. И в настоящее время мы имеем в теории чисел такое методологическое многообразие, как, пожалуй, ни в одной другой математической дисциплине. Характерной чертой для всех этих методов является сравнительная ограниченность их приложений; каждый такой метод, как правило, может быть применен к решению лишь более или менее узкого круга родственных между собою задач.

 

§2. Определение сравнения n-й степени, n≥2, с одним неизвестным, его решения, свойства решений

 

Рассмотрим двучленные сравнения:

числовой сравнение степень квадратичный

( a, m ) = 1

 

Если сравнение (1) имеет решение, то а называется вычетом степени n по модулю m. В противном случае а называется невычетом степени n по модулю m. В частности, при n=2 вычет или невычеты называются квадратичными, при n=3- кубическими, при n=4- биквадратичными.

Рассмотрим простейшее двучленное сравнение второй степени вида:а (mod р), где а и р взаимно просты, а р- нечетное простое число.

Условие взаимной простоты (а,р)=1 исключает из рассмотрения случай а=0.

Нас интересует вопрос, при каких простейшее двучленное сравнение второй степени имеет решение, а при каких не имеет. Сравнение а (mod 2) имеет решение при любых а, так как вместо а достаточно подставлять только 0 или 1, а числа 0 и 1 являются квадратами.

Что касается сравнения 0 (mod p), то оно всегда имеет решение х=0.

Определение. Если сравнение а (mod р) имеет решения, то число а называется квадратичным вычетом по модулю р. В противном случае число а называется квадратичным невычетом по модулю р.

Итак, если а - квадрат некоторого числа по модулю р, то а- «квадратичный вычет», если же никакое число в квадрате не сравнимо с а по модулю р, то а- «квадратичный невычет».

Если а - квадратичный вычет по модулю р, то сравнение а (mod р) имеет в точности два решения. Действительно, если а - квадратичный вычет по модулю р, то сравнения а (mod р) есть хотя бы одно решение ( mod p). Тогда - тоже решение, ведь =. Эти два решения не сравнимы по модулю р>2, так как из ( mod p) следует 2 ( mod p) , т.е. ( поскольку р2) ( mod p), что невозможно, ибо а0. Поскольку сравнение а (mod р) есть сравнение второй степени по простому модулю, то больше двух решений оно иметь не может.

Приведенная система вычетов

 

,…, -2, -1, 1, 2, …,

 

По модулю р состоит из квадратичных вычетов, сравнимых с числами , ,…, , и квадратичных невычетов, т.е. вычетов и невычетов поровну.

Действительно, квадратичные вычеты сравнимы с квадратами чисел

 

,…, -2, -1, 1, 2, …, ,

 

т.е. с числами , ,…, , при этом все эти квадраты различны по модулю р, ибо из ( mod p), где 0<k<l, следует, что

Похожие работы

1 2 3 > >>