Способы решения систем линейных уравнений

Информация - Математика и статистика

Другие материалы по предмету Математика и статистика

Скачать Бесплатно!
Для того чтобы скачать эту работу.
1. Пожалуйста введите слова с картинки:

2. И нажмите на эту кнопку.
закрыть



Способы решения систем линейных уравнений очень интересная и важная тема. Системы уравнений и методы их решения рассматриваются в школьном курсе математики, но недостаточно широко. А для того, чтобы перейти к исследованию данной темы, также нужно было познакомиться с темой матриц и определителей. Этот же материал вообще в школьной программе не изучается. Поэтому первая глава моего реферата посвящена теме матриц и определителей. В ней я рассматривала различные действия над матрицами, свойства определителей, метод Гаусса вычисления ранга матрицы, а так же некоторые другие теоретические вопросы. Во второй главе непосредственно рассматриваются системы линейных уравнений и некоторые методы их решения: правило Крамера, метод Гаусса, а так же теорема Кронекера Капелли. И в той и в другой главах приведены примеры, которые составляют практическую часть моего реферата.

Цель моей работы заключается в том, чтобы изучить различные способы решения систем линейных уравнений для применения их на практике. Для достижения любой цели необходимо выполнить какие-то определенные задачи. Мне нужно выполнить следующие задачи: исследовать литературу по темам матриц, определителей и систем линейных уравнений; изучить современное состояние данного вопроса; отобрать и классифицировать исследуемый материал; а также провести практическую часть работы. Давайте рассмотрим некоторые примеры важнейших моментов этой работы.

Пусть дана система n линейных уравнений с n неизвестными:

 

a11x1 + a12x2 + …+ a1n xn = b1 ;

a21x1 + a22x2 + …+ a2n xn = b2 ;

……………………………………

an1x1 + an2x2 + …+ annxn = bn ;

a). Если , то система (1) имеет единственное решение,

которое может быть найдено по формулам Крамера: x1=, где

определитель n-го порядка i ( i=1,2,...,n) получается из определителя системы путем замены i-го столбца свободными членами b1 , b2 ,..., bn.

б). Если , то система (1) либо имеет бесконечное множество решений , либо несовместна ,т.е. решений нет. Например:

решить систему уравнений

.

Вычислим определитель системы:

Так как определитель не равен нулю, система уравнений может быть решена по формулам Крамера. Найдем определители ∆x , ∆y:

 

 

.

 

Практическое значение правила Крамера для решения системы n линейных уравнений с п неизвестными невелико, так как при его применении приходится вычислять п +1 определителей n-го порядка: , x1, x2, …,xn. Более удобным является так называемый метод Гаусса. Он применим и в более общем случае системы линейных уравнений, т. е. когда число уравнений не совпадает с числом неизвестных.

Итак, пусть дана система, содержащая m линейных уравнений с п неизвестными:

а11х1 + а12х2 + …+ а1nхn = b1;

а21х1 + а22х2 + …+ а2nхn = b2;

. ……………………………………

аm1х1 + аm2х2 + …+ аmnхn = bm

Метод Гаусса решения системы (19) заключается в последовательном исключении переменных. Например:

 

 

Решить методом Гаусса систему уравнений

x1 2x2 + x3 + x4 = 1;

3x1 + 2x2 3x3 4x4 = 2;

2x1 x2 + 2x3 3x4 = 9;

x1 + 3x2 3x3 x4 = 1.

 

Р е ш е н и е. Составим матрицу В и преобразуем ее. Для удобства вычислений отделим вертикальной чертой столбец, состоящий из свободных членов:

1 2 1 1 1

B = 3 2 3 4 2 .

2 1 2 3 9

1 3 3 1 1

 

Умножим первую строку матрицы В последовательно на 3, 2 и 1 и вычтем соответственно из второй, третьей и четвертой строк. Получим матрицу, эквивалентную исходной:

 

1 2 1 1 1

0 8 6 7 5

0 3 0 5 11

0 5 4 2 0

 

Третью строку матрицы умножим на 3 и вычтем ее из второй строки. Затем новую вторую строку умножим на 3 и на 5 и вычтем из третьей и четвертой строк. Получим матрицу, эквивалентную исходной:

 

1 2 1 1 1

0 1 6 8 28

0 0 1 0 3

0 0 0 19 19

 

Из коэффициентов последней матрицы составим систему, равносильную исходной:

 

 

x1 2x2 + x3 + x4 = 1;

  1. X2 6x3 + 8x4 = 28;

x3 = 3;

19x4 = 19.

Решим полученную систему методом подстановки, двигаясь последовательно от последнего уравнения к первому. Из четвертого

s