Банаховы пространства. Метрические и нормированные пространства

Итак, любое линейное нормированное пространство можно сделать метрическим пространством указанным выше естественным способом (так, указанные нами нормы в пространстве непрерывных

Банаховы пространства. Метрические и нормированные пространства

Информация

Математика и статистика

Другие материалы по предмету

Математика и статистика

Сдать работу со 100% гаранией

Одесский национальный политехнический университет

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Банаховы пространства

Метрические и нормированные пространства

По дисциплине "Функциональный и выпуклый анализ"

 

 

Выполнила:

Студентка группы РИ-101 Козлюк Е.О.

Проверил: Бардай В.В.

 

 

 

 

 

 

 

 

Одесса 2011

Метрические и нормированные пространства

 

Именно в этих пространствах были первоначально исследованы фундаментальные понятия сильной и слабой сходимости, компактности, линейного функционала, линейного оператора и др. Банаховы пространства названы по имени С. Банаха, к-рый в 1922 начал систематич. изучение этих пространств на основе введенной им аксиоматики и получил глубокие результаты.

Множество M называется метрическим пространством, если каждым двум элементам x, y этого множества поставлено в соответствие действительное число, обозначаемое и называемое расстоянием между элементами x и y, причем выполнены следующие аксиомы:

1.для любых , причем в том и только в том случае, когда ;

2.для любых ;

3.для любых .

Если x, y - два фиксированных элемента множества M, то есть действительное число, однако, полагая x и y равными всевозможным элементам множества M, получим, что является функцией двух переменных x, y. Эта функция называется метрикой данного пространства.

Множество можно наделить метрикой: например, достаточно положить . Примером метрического пространства может также служить множество точек плоскости, где расстояние между точками и определяется как . При этом третья аксиома, принимающая вид (где A, B, C - произвольные точки плоскости) имеет наглядную интерпретацию: длина любой из сторон треугольника не превосходит суммы двух других сторон (равенство достигается, если треугольник "вырожден": точка C лежит на отрезке AB). В связи с этим третью аксиому метрического пространства часто называют неравенством треугольника.

Приведем теперь менее тривиальный пример. В пространстве непрерывных на отрезке функций (действительных или комплексных) введем метрику

 

 

Выполнение первых двух аксиом метрического пространства при этом очевидно, а выполнение третьей аксиомы следует из тривиальных свойств модуля и того факта, что максимум суммы не превосходит суммы максимумов:

 

 

Разумеется, на одном и том же множестве метрику можно ввести по-разному. Рассмотренная только что метрика в пространстве непрерывных функций называется равномерной метрикой (пространство с этой метрикой обозначают ). Однако на том же самом множестве непрерывных функций можно ввести и так называемую среднеквадратичную метрику

 

 

(пространство с этой метрикой обозначают ), и некоторые другие метрики. Выполнение неравенства треугольника для среднеквадратичной метрики будет доказано несколько позже.

В линейных пространствах наряду с метрикой используют понятие нормы элемента.

Определение. Линейное пространство называется нормированным, если каждому элементу x этого пространства поставлено в соответствие действительное число (норма x), причем выполнены следующие аксиомы:

1.для любого x, причем тогда и только тогда, когда ;

2.для любого x и любого комплексного;

3.для любых x, y из данного пространства.

Для линейных пространств над полем действительных чисел также вводится понятие нормированного пространства с теми же аксиомами.

Неравенство, фигурирующее в третьей аксиоме, называется неравенством Минковского. Простейшими примерами нормированных пространств могут служить множества действительных чисел R и комплексных чисел C, где в качестве нормы числа рассматривается его модуль, а также пространство векторов на плоскости (или в пространстве) с нормой, равной длине вектора. В пространстве непрерывных функций на (действительном или комплексном) норму можно ввести, например, следующими способами:

 

, .

 

Отметим теперь следующий важный факт. В любом линейном нормированном пространстве можно ввести метрику следующим образом:

 

 

При этом выполнение первой аксиомы метрического пространства следует из первой аксиомы нормированного пространства. Выполнение второй аксиомы также очевидно:

 

.

 

Наконец, выполнение третьей аксиомы метрического пространства следует из неравенства Минковского:

 

 

Итак, любое линейное нормированное пространство можно сделать метрическим пространством указанным выше естественным способом (так, указанные нами нормы в пространстве непрерывных функций порождают соответственно равномерную и среднеквадратичную метрику, т.е. порождают пространства и соответственно). Обратное утверждение, вообще говоря, неверно: не в любом метрическом пространстве можно ввести норму, поскольку понятие нормы вводится лишь в линейном пространстве, а метрическое пространство может не быть наделено линейной структурой. Однако, если метрическое пространство наделено линейной структурой (является линейным пространством), то его всегда можно сделать нормированным, введя норму

Всюду в дальнейшем мы будем рассматривать исключительно линейные нормированные пространства, причем всюду (в случае необходимости) будем подразумевать, что пространство снабжено естественной (индуцированной) метрикой .

Пусть теперь - некоторая последовательность элементов линейного нормированного пространства L, а - некоторый фиксированный элемент L. Для каждого номера n найдем . Тем самым получим числовую последовательность .

Определение. Элемент линейного нормированного пространства L называется пределом последовательности элементов , если

 

(или ).

 

Обозначение: (если необходимо, то указывают, по какой норме рассматривается предел).

Если последовательность имеет предел, то она называется сходящейся (по норме данного пространства), в противном случае - расходящейся.

Пример. Рассмотрим последовательность функций в пространстве . Функция является ее пределом, т.к.

 

при .

 

Однако в пространстве эта же самая последовательность расходится. Действительно, допустим, что в равномерной метрике. Тогда

 

 

При каждом фиксированном

 

,

 

очевидно,

 

,

 

и, следовательно,

 

, т.е.

Но .

Итак, .

 

Однако такая функция не является непрерывной на , т.е. вообще не принадлежит рассматриваемому пространству. Таким образом, в данная последовательность предела не имеет.

Как видим, одна и та же последовательность может иметь предел в одной метрике и не иметь в другой.

Если последовательность имеет предел, то этот предел единственен. В самом деле, пусть и . Тогда

 

.

 

При правая часть стремится к нулю, следовательно, левая часть также стремится к нулю. Но - константа, поэтому =0, а значит, .

Определение предела последовательности элементов нормированного пространства основано на понятии предела числовой последовательности. Используя определение предела числовой последовательности, "расшифруем" более подробно понятие предела в нормированном пространстве.

Элемент линейного нормированного пространства L является пределом последовательности элементов , если для любого (сколь угодно малого) найдется номер N, такой, что для всех номеров n, больших N, выполнено неравенство . Или, в символьной записи,

 

 

Рассмотрим теперь понятие фундаментальной последовательности, тесно связанные с понятием предела.

Определение. Последовательность элементов линейного нормированного пространства называется фундаментальной, если

 

 

Очевидно, что любая сходящаяся последовательность фундаментальна: если

 

, то

тогда

 

для всех номеров что и доказывает фундаментальность последовательности .

Из курса анализа известен критерий Коши: числовая последовательность сходится тогда и только тогда, когда она фундаментальна. Иными словами, пространство R устроено так, что в нем не только из сходимости следует фундаментальность, но и наоборот. Однако не любое линейное нормированное пространство устроено таким образом: например, в пространстве рациональных чисел Q (с обычными линейными операциями и нормой ) фундаментальная последовательность может расходиться (такая ситуация имеет место, если пределом последовательности рациональных чисел является число иррациональное).

Определение. Линейное нормированное пространство называется полным, если в нем любая фундаментальная последовательность сходится.

 

Банахово пространство

 

Полное линейное нормированное пространство называют также банаховым пространством (по имени выдающегося польско-украинского ма

Похожие работы

1 2 >