В то же время, в школьной математике приближенные вычисления присутствуют. Существуют темы, которые не могут обойтись без понятия точности приближения. Перечислим эти темы:
-Иррациональные числа;
-Бесконечные десятичные дроби;
Вычисление корня n - й степени;
Логарифмы;
Квадратные уравнения;
Приближенные формулы;
Построение графиков функций;
Предел.
Практически во всех перечисленных темах требуются знания о диапазоне разброса. Часто, без помощи МК ученик не может найти значение корня n - й степени, но ведь это можно сделать, применив знания из темы Приближенные вычисления.
С приближенными формулами учащиеся сталкиваются в восьмом и одиннадцатом классах. В восьмом классе, в пособии [25, с.151 - 153] приведены следующие приближенные формулы:
1)При малых значениях a и b верна приближенная формула
(1 + a)(1 + b) » 1 + a + b, если a = b, получим (1 + a)2»1 + 2a.
Отсюда следует, что если |b| мал по сравнению с |a|, то (a + b)2»a2 + 2ab.
2)Если a1, a2, …, an малы по сравнению с 1, то (1 + a1)(1 + a2) … (1 + an) » 1 + a1 + a2 + … + an, и потому (1 + a)n » 1 + na.
3)Если |a| мало по сравнению с единицей, то » 1 -a.
В учебнике для 11 класса [7] содержится ряд лабораторных работ, при выполнении которых учащиеся сталкиваются с приближенными вычислениями. В лабораторных работах встречаются следующие задания:
-Начертите примерный график скорости, изменения углового коэффициента касательной;
-Вычислите приближенно угловые коэффициенты касательных;
Вычислите с заданной точностью;
Найдите приближенное значение корня по приближенной формуле;
Найдите приближенное значение корня методом последовательных приближений;
Изучите влияние погрешности вычисления t на погрешность вычисления at
Вычислите приближенное значение натурального логарифма числа a с помощью формулы (ax) = (ln a)ax;
Вычислите приближенное значение интеграла с помощью интегральных сумм;
Решите приближенно дифференциальное уравнение методом Эйлера. (Начиная с некоторой точки строится ломаная с заданным шагом. Значение функции вычисляется по формуле уравнения прямой, угловой коэффициент находится из дифференциального уравнения).
Вычислите приближенно корни уравнения:
А) методом половинного деления;
В) методом касательных;
С) методом хорд.
Сопоставляя материал школьной программы по теме Приближенные вычисления с задачами, приводящими к понятиям приближенных вычислений, становится ясным, что предложенные алгоритмы (округление, накопление погрешности) не отражают направления. От учеников скрыты возможные исследовательские задачи. На самом деле, задача о приближении функций требует большого объема дополнительных знаний и недоступна для школьников. Однако, нами был обнаружен материал, связывающий школьную программу с теорией. Приближенное решение уравнений, в частности, квадратных уравнений, может вывести учеников на понятия приближенных вычислений, открыть для них новую область знаний. Возникла гипотеза, что задача о приближенном решении квадратных уравнений может быть исследовательской.
Глава 2. Факультативный курс Приближенные вычисления для 7-8 классов
1. Факультативные курсы как формы дополнительного образования школьников
Факультативные занятия по математике в средней школе, являющиеся одной из форм внеклассной работы, позволяют углубить и расширить знания учащихся по математике, развить интерес к предмету, привить вкус к самостоятельному приобретению знаний, приобщить к исследовательской работе.
В монографии [5] приводится следующие характеристики факультативного курса: Материал факультатива тематически жестко связан с материалом урока. Материалу урока задается прикладной контекст. Содержание факультатива проще содержания урока, не требует удержания сложно структурированных математических объектов. Отрабатывается искусство применения способов, приемов и знаний, полученных на уроке, решаются нетривиальные и занимательные задачи, некоторые олимпиадные задачи.
Существует и другой, нетрадиционный, взгляд на содержание факультативного курса. Он представлен в пособии [26], в котором собран опыт преподавателей саратовского педагогического института. Остановимся на этом понимании факультативного курса подробнее.
Иванова Н. Н. в пособии [26] отмечает вопросы, на которые нужно уделить внимание при проведении занятий:
1.Значение эмоциональности преподавания (яркий рассказ, просмотр диафильмов, эксперименты учащихся с моделями, игровые ситуации);
2.создание проблемных ситуаций и их разрешение (разработать систему вопросов, направляющих мысль ученика на поиск решения проблемы, приобщить учащихся к самостоятельному поиску, открытию, умению творчески осмыслить изученное);
.система поисковых задач. Поисковая задача - задача, при предъявлении которой учащиеся не знают заранее способа ее решения. Учащиеся решают все задачи самостоятельно или при небольшой помощи учителя.
.включение исторического материала. Оно целесообразно по следующим причинам:
яркий факт биографии ученого может вызвать у учащихся желание глубоко познакомится с его жизнью и творчеством;
полезно показать характер постановки проблемы, трудности, которые возникали перед учеными, попытки преодолеть трудности и почему это не удавалось. Указанные этапы задают хоть и очень упрощенную, но модель движения в науке.
5.развитие самостоятельности и творческой активности учащихся при работе с научно - популярной литературой по математике. Работа с дополнительной литературой имеет большое значение для повышения общего уровня развития учащихся, подготовки школьников к дальнейшему образованию и самообразованию, к практической творческой деятельности.
Опыт показывает, что основу группы учащихся, посещающих факультатив, составляют школьники с ярко выраженными математическими способностями, индивидуальность мышления которых очевидна. Петрова Е. С. в своей статье [26] ставит вопрос о дифференциации и индивидуализации в обучении, сочетание коллективной, групповой и индивидуальной учебно - познавательной деятельности. Автор предлагает сначала всем участникам факультативной группы предложить разные конкретные задачи, при попытке которые школьники отыскивают общий способ в решении задач такого вида, подмечая некоторые закономерности. Общий вывод делают ученики всей группой на основе исследований каждого, т. е. итог проделанным исследованиям подводит коллективная работа.
При проведении факультативного курса важна система вопросов и упражнений, предлагаемых учащимся. Важно охватить вопросами весь изученный материал.
В пособии [26] выделены методы, применяемые в целях пробуждения у слушателей школьного факультатива творческой активности:
-Эвристический. Используется при ознакомлении учащихся с новым материалом: в случае алгебраического и геометрического подходов к изучаемому, при составлении алгоритма нового для школьников математического метода, решении задач, выводе учащимися нового правила, формулы, доказательстве теорем, введении новых понятий.
-Проблемный. Создание проблемных ситуаций - необходимое условие побуждения учащихся к творческому поиску. Например, указание задач с практическим содержанием, занимательного или исторического характера, вызывающих желание учащегося их решить.
Важно отметить, что изучаемый на факультативе фактический материал может быть либо известен, либо неизвестен учащимся. На этот факт стоит обратить внимание. Если фактический материал содержания факультатива уже частично известен, то этим путем идти нельзя. Полезно задать участникам несколько вопросов на дом: перечислить, какие факты стоит повторить перед работой с данным материалом; выявить возможности реализации межпредметных связей при изучении данного вопроса, его практические приложения; постараться сформулировать проблему.
В процессе выполнения лабораторных работ у учащихся появляется интерес к получаемым результатам. Здесь удачно сочетаются два подхода к творческой деятельности:
учет эмоциональной стороны вопроса;
учет операционной структуры, возможность алгоритмического поэтапного руководства исследовательской деятельности учащегося. При этом учитель должен:
1)учитывать запас знаний учащихся;
2)выявлять способы их актуализации;
)продумывать новую информацию, сообщаемую учащимся, цель работы, ход выполнения работы, необходимое оборудование, оформление хода и результатов работы учащимися в рабочих тетрадях, выводы.
)Определение путей проверки выполнения работы учащимися;
)Выявление возможности индивидуализации и дифференциации обучения.
Работа с литературой. Это реализуется в следующих формах. Слушатели факультатива получают индивидуальные задания составить и написать реферат. Например, описать некоторые факты из истории, доказательства теорем. Подбор литературы в соответствии с тематикой.
Немаловажным условием является обеспечение активной познавательной деятельности учащихся на протяжении каждого занятия.
Частью факультатива являются задачи, предназначенные для организации учебно-исследовательской деятельности учащихся. Для решения учебно-исследовательской задачи недостаточно одной или нескольких блестящих идей, она естественно, разбивается на ряд более мелких задач - от простых, не требующих никаких предварительных знаний и доступных любому школьнику, до сложных проблем. Машевецкий Г. И. [26] выделяет общие характеристики учебно-исследовательских задач:
К основным группам требований относятся: мотивационные (условие задачи должно привлекать внимание, быть связана с окружающей д
