"Приближенные вычисления" – разработка факультативного курса и проектирование творческой задачи для 7-8 классов

ЗаданияФормы работыКомментарии Ответить на вопрос: Что является причиной появления приближенных чисел?совместное обсуждение (10 мин).(Учащиеся предлагают свои версии). У: (к предложенным

Приближенные вычисления – разработка факультативного курса и проектирование творческой задачи для 7-8 классов

Дипломная работа

Педагогика

Другие дипломы по предмету

Педагогика

Сдать работу со 100% гаранией
комплексного переменного - изучающий вопросы приближенного представления функций комплексного переменного посредством аналитических функций специальных классов. В БЭС [17, с. 489] отмечено, что теория приближений тесно связана с другими разделами комплексного анализа (теорией конформных отображений, интегральными представлениями). Многие теоремы, формулируемые в терминах теории приближений, являются, по существу, глубокими результатами о свойствах аналитических функций и природе аналитичности.

Прикладные:

появляется потребность заменять сложные функции более простыми; такая задача возникает, например, когда необходимо вычислять значения функции.

-требуется заменить данную функцию приближающей функцией, принадлежащей заданному семейству функций, определяемому физическими условиями задачи.

-закон изменения исследуемой функции известен лишь с некоторой погрешностью, то на основании этих сведений можно определить функцию только приближенно; таково происхождение так называемых эмпирических формул непосредственно связанных с обработкой результатов наблюдений.

В энциклопедии [19, с. 415] описаны шаги, на которые распадается фактическое решение каждой задачи о приближении функций.

1)Выбор средства приближения, т. е. выбор того семейства функций, с помощью которого будет осуществляться приближение заданной функции. Заметим, что классическим средством приближения функций являются алгебраические многочлены фиксированной степени n, рациональные дроби , где многочлены соответственно степеней n и m, тригонометрические полиномы заданного порядка n. Вообще в качестве средств приближения обычно выбирают полиномы вида , где -заданные функции.

2)Выбор способа измерения уклонения от заданной функции до приближающей функции, т. е. выбор способа судить о том, когда приближающая функция близка к заданной. Способ измерения уклонения определяется заданием меры уклонения приближающей функции от данной , то есть числом, которое характеризует это уклонение. Выделяют следующие меры уклонения:

-Если важно, чтобы приближающая функция на целом отрезке [a, b] равномерно мало отличалась от заданной функции:

 

 

Если важно, чтобы приближающая функция лишь в среднем мало отличалась от заданной, и допустимо, чтобы существовали весьма короткие отрезки, на которых отклонение достигает значительной величины:

 

 

-Если важны не сами значения функции , а требуется узнать приближенную величину интеграла от этой функции:

 

 

3)Выбор метода приближения, т. е. выбор такого правила, согласно которому из семейства приближающих функций выделяется одна приближающая функция. Заметим, что выделяют следующие методы:

-Интерполирование;

-Наилучшие методы приближения;

Суммы Фурье;

Частичные суммы рядов.

4)Фактическое построение этой приближающей функции. (Трудность построения приближающей функции зависит от выбранного метода приближения).

5)Оценка погрешности, возникающей от замены заданной функции приближающей ее функцией. (Алгебраические многочлены на любом конечном отрезке [a, b] и система тригонометрических функций относительно всех непрерывных периодических функций обладают свойством: погрешность приближения можно сделать сколь угодно малой, выбрав число параметров, от которых зависит семейство приближающих функций, достаточно большим).

Таким образом, важно развитие аппарата приближенных вычислений для прикладных и теоретических задач математики. В работе было выделено четыре направления, в которых не обойтись без приближенных вычислений. Из этих направлений для школьников недоступно приближение функции, так как здесь используется много новых понятий. Однако, приближенное решение уравнений для школьников вполне доступно, этот теоретический материал связан со школьной программой.

 

2. Тема Приближенные вычисления в школьной математике

 

1. Понятия, связанные с приближенными вычислениями

В настоящем пункте перечислим понятия теории приближенных вычислений, с которыми знакомятся школьники с 1 по 11 класс.

Приближение. В справочной литературе можно встретить несколько формулировок.

1)Так, в энциклопедиях [17, с.487] и [19, с.316] рассматривается более широкое понятие - апроксимация - замена одних математических объектов другими, в том или ином смысле близкими к исходным. Апроксимация позволяет исследовать числовые характеристики и качественные свойства объекта, сводя задачу к изучению более простых или более удобных объектов (таких, характеристики которых легко вычисляются или свойства которых уже известны).

2)В энциклопедии [8, с.20] также рассматривается приближение с недостатком и с избытком.

)В энциклопедии [19, с.249] приближение рассматривается как замена числа, а мало отличающимся от него числом а* - его приближением.

Обобщив имеющиеся формулировки, будем понимать приближение как замену одних математических объектов другими, в том или ином смысле близкими к исходным.

Если приближенное значение меньше точного, то это приближенное значение по недостатку, если больше - то по избытку. Термин приближение будем использовать в смысле приближенного значения величины.

Округление. Округление числа будем понимать как приближенное представление числа в десятичной (или иной, например двоичной) системе счисления с помощью конечного числа разрядов. Такое определение представлено в энциклопедии [19, с.238]. Здесь же сказано о приближении с округлением, но четкой формулировки нет. В методической литературе определение термина округления не предлагается, этот термин объясняется через правила округления. В литературе встречаются три вида правил:

1)формальный алгоритм округления, [8, 11, 12];

2)правила округления целых чисел и десятичных дробей, [22];

)правило четной цифры, [19, 8, 11, 12].

В приложении 2 к данной работе приведены формулировки правил.

Разные формулировки правил означают одно и то же. В учебниках используется, главным образом, формальный алгоритм округления.

Погрешность. В справочной литературе рассматриваются разные погрешности. Для определения погрешности важно знать об источниках ее возникновения. В источнике [6, с.17] выделены следующие причины возникновения погрешностей при решении задач:

1)математическое описание задачи является неточным, в частности неточно заданы исходные данные описания;

2)применяемый для решения метод часто не является точным: получение точного решения возникающей математической задачи требует неограниченного или неприемлемо большого числа арифметических операций; поэтому вместо точного решения задачи приходится прибегать к приближенному;

)при выполнении арифметических операций производятся округления.

4)Разработана типология погрешностей в соответствии с причинами, т. е. выделяют три типа погрешности.

Типы погрешности, соответствующие этим причинам:

1)неустранимая погрешность - это погрешность, являющаяся следствием неточности задания числовых данных, входящих в математическое описание задачи;

2)погрешность математической модели - это погрешность, являющаяся следствием несоответствия математического описания задачи реальности;

)погрешность метода;

)вычислительная погрешность.

Введем формальные определения.

Пусть

I - точное значение отыскиваемого параметра,

I* - значение этого параметра, соответствующее принятому математическому описанию,

I*h - решение задачи, получаемое при реализации численного метода в предположении отсутствия округлений,

I*h* - приближение к решению задачи, получаемое при реальных вычислениях.

Тогда

r1=I* - I неустранимая погрешность,

r2=I*h - I* погрешность метода,

r3=I*h* - I*h вычислительная погрешность,

r0=I*h* - I полная погрешность.

Полная погрешность удовлетворяет равенству r0 = r1 + r2 + r3.

Во многих случаях под термином погрешность того или иного вида понимают не рассмотренные выше разности между приближениями, а некоторые меры близости между ними. Например:

r0=|I*h* - I|

r1=|I* - I|

r2=|I*h - I*|

r3=|I*h* - I*h|

 

При таких обозначениях получаем r0 £ r1 + r2 + r3.

Выделим следующие группы погрешностей:

) Погрешность измерения и погрешность приближения.

В некоторых источниках [25, с.142] под погрешностью измерения понимают разность х - а, где х - истинное значение измеряемой величины, а - результат измерения. Под погрешностью приближения понимают разность между числом х и его приближенными значениями. Например, приближенные значения числа P.

) Погрешности абсолютная, относительная и предельная.

Итак, в [15, с.13] сказано, что абсолютная погрешность - модуль разности |х - а|, где а - данное число, которое рассматривается как приближенное значение некоторой величины, точное значение которой равно х.

Под относительной погрешностью будем понимать отношение абсолютной погрешности приближенного числа к самому этому числу.

В справочнике [11, с. 95] дается понятие предельной погрешности.

Число, заведомо превышающее абсолютную погрешность (или в худшем случае равное ей), называется предельной абсолютной погрешностью. Число, заведомо превышающее относительную погрешность (или в худшем случае равное ей), называется предельной относительной погрешностью.

) Погрешности, возникающие в результате арифметических операций над числами.

Отметим погрешности произведения, суммы и разности, частного.

В справочнике [11, с.98 - 100] сказано, что предельная абсолютная погрешность суммы равна сумме предельных абсолют

Лучшие

Похожие работы

<< < 1 2 3 4 5 6 7 > >>