"Приближенные вычисления" – разработка факультативного курса и проектирование творческой задачи для 7-8 классов

Дипломная работа - Педагогика

Другие дипломы по предмету Педагогика

Скачать Бесплатно!
Для того чтобы скачать эту работу.
1. Пожалуйста введите слова с картинки:

2. И нажмите на эту кнопку.
закрыть



/p>

х3 = j(х2);

х4 = j(х3) и т.д.

 

Важно отметить, что трансцендентное число можно представить при помощи числового ряда. Так, например в энциклопедии [29], сумма ряда 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - … равна /4; сумма ряда 1/12 +1/22 + 1/32 + 2 + … равна 2/6. Эти суммы дают возможность приближенно вычислить число с любой, наперед заданной, степенью точности (если взять достаточно много членов ряда). Точность будем определять, пользуясь понятиями верных и значащих цифр.

3. Приближенные формулы

Существует еще один раздел, тесно связанный с приближенными вычислениями - приближенные формулы. В энциклопедии [17, с.489] приближенная формула определяется как формула f(х)f*(х), получаемая из формулы вида f(х) = f*(х) + e(х), где e(х) рассматривается как погрешность и после оценки отбрасывается. Приближенные формулы позволяют при вычислении с приближенными числами быстро найти приближенный ответ. Приведем несколько наиболее употребительных приближенных формул, причем отметим, при каких ограничениях на |х| формула будет давать k точных десятичных знаков.

 

 

В приложении 1 к данной дипломной работе представлены графики функций, позволяющие увидеть, насколько близки друг к другу точные и приближенные корни уравнений.

В учебнике Башмакова М. И. [7] представлены формулы для приближенных вычислений значений функции

 

f(x) - y0 f/(x0)Dx; y y0 + dy; у у0 + f/(x0)(x - x0).

 

Применяя вышеперечисленные формулы можно построить несколько приближенных формул.

Дана степенная функция у = хn. Зафиксируем точку х0 и применим формулу: (х0 + Dх)n х0n + nx0n-1Dх.

Дана функция у = .

Получаем приближенную формулу: - .

4. Приближение функции

В БЭС [17, с. 487] приближение функций определяется как нахождение для данной функции f функции g из некоторого определенного класса, в том или ином смысле близкой к f, дающей ее приближенное представление. Задача о приближении функции - это задача о замене одних функций другими функциями. Эта задача постоянно возникает как в математике, так и в ее приложениях, т. к. существуют теоретические и прикладные потребности в ее решении.

Теоретические:

приближение функций является одним из мощных средств исследования свойств самих функций. Существует раздел комплексного анализа - приближение функций комплексного переменного - изучающий вопросы приближенного представления функций комплексного переменного посредством аналитических функций специальных классов. В БЭС [17, с. 489] отмечено, что теория приближений тесно связана с другими разделами комплексного анализа (теорией конформных отображений, интегральными представлениями). Многие теоремы, формулируемые в терминах теории приближений, являются, по существу, глубокими результатами о свойствах аналитических функций и природе аналитичности.

Прикладные:

появляется потребность заменять сложные функции более простыми; такая задача возникает, например, когда необходимо вычислять значения функции.

-требуется заменить данную функцию приближающей функцией, принадлежащей заданному семейству функций, определяемому физическими условиями задачи.

-закон изменения исследуемой функции известен лишь с некоторой погрешностью, то на основании этих сведений можно определить функцию только приближенно; таково происхождение так называемых эмпирических формул непосредственно связанных с обработкой результатов наблюдений.

В энциклопедии [19, с. 415] описаны шаги, на которые распадается фактическое решение каждой задачи о приближении функций.

1)Выбор средства приближения, т. е. выбор того семейства функций, с помощью которого будет осуществляться приближение заданной функции. Заметим, что классическим средством приближения функций являются алгебраические многочлены фиксированной степени n, рациональные дроби , где многочлены соответственно степеней n и m, тригонометрические полиномы заданного порядка n. Вообще в качестве средств приближения обычно выбирают полиномы вида , где -заданные функции.

2)Выбор способа измерения уклонения от заданной функции до приближающей функции, т. е. выбор способа судить о том, когда приближающая функция близка к заданной. Способ измерения уклонения определяется заданием меры уклонения приближающей функции от данной , то есть числом, которое характеризует это уклонение. Выделяют следующие меры уклонения:

-Если важно, чтобы приближающая функция на целом отрезке [a, b] равномерно мало отличалась от заданной функции:

 

 

Если важно, чтобы приближающая функция лишь в среднем мало отличалась от заданной, и допустимо, чтобы существовали весьма короткие отрезки, на которых отклонение достигает значительной величины:

 

 

-Если важны не сами значения функции , а требуется узнать приближенную величину интеграла от этой функции:

 

 

3)Выбор метода приближения, т. е. выбор такого правила, согласно которому из семейства приближающих функций выделяется одна приближающая функция. Заметим, что выделяют следующие методы:

-Интерполирование;

-Наилучшие методы приближения;

Суммы Фурье;

Частичные суммы рядов.

4)Фактическое построение этой приближающей функции. (Трудность построения приближающей функции зависит от выбранного метода приближения).

5)Оценка погрешности, возникающей от замены заданной функции приближающей ее функцией. (Алгебраические многочлены на любом конечном отрезке [a, b] и система тригонометрических функций относител

s