"Приближенные вычисления" – разработка факультативного курса и проектирование творческой задачи для 7-8 классов

Дипломная работа - Педагогика

Другие дипломы по предмету Педагогика

Скачать Бесплатно!
Для того чтобы скачать эту работу.
1. Пожалуйста введите слова с картинки:

2. И нажмите на эту кнопку.
закрыть



бразом:

 

X1 = 1 +

X2 =

X3 =

X4 =

X5 =

X6 =

X7 =

X8 =

X9 =

X10 =

 

При нахождении значений в ходе выполнения операций мы не производили округление.

Было замечено, что оба эти равенства можно записать в общем виде. В самом деле, второе равенство в общем виде будет иметь вид: , а первое равенство в общем виде: . Кроме того, эти уравнения получены из одного:

 

/

(возведем в квадрат)

 

Так как равенства получены из одного и того же уравнения, то мы можем сравнить значения и выбрать из них наиболее эффективное равенство.

Выгоднее пользоваться равенством , так как не происходит предварительного округления, а значит, погрешность не накапливается.

В равенстве на 1-4 шагах одна устойчивая цифра, на 5,6 - три устойчивые цифры. (см. графики в приложениях 3, 4).

В равенстве на 1,2 шагах одна устойчивая цифра, на 3,4 -две, с пятого шага - три устойчивые цифры. (см. графики в приложениях 1, 2).

Таким образом, уравнения и - являются обобщениями наших равенств. При этом, они выведены из одного квадратного уравнения:

X2 - x - 1 = 0.

Заметим, что квадратные уравнения имеют два корня, но мы для простоты исследования возьмем только один - положительный.

 

2. Нахождение корня уравнения методом половинного деления отрезка

Найдем корень уравнения другим методом. Воспользуемся методом половинного деления отрезка.

Представим уравнение в другом виде: . Построим графики функций: у = х; у = . (Графики представлены в приложении 1). Точка пересечения графиков - корень уравнения. Графики пересекаются в двух точках. Мы будем рассматривать только одну. Второй корень находится по аналогии. Выберем промежуток, на котором находится точка. Это промежуток [1;2]. Пользуясь методом половинного деления получаем следующие результаты.

Отрезок [1; 2] содержит точку пересечения графиков.

 

2)z1 = (1 +2)/2 = 1.5;

 

Получили два отрезка: [1; 1.5] и [1.5; 2].

Для отрезка [1.5; 2] значения функции имеют разные знаки. В самом деле,

 

- 1 - 1 = -1;

.52 - 1.5 - 1 = -0.25;

- 2 - 1 = 1.

) z2 = (1.5 + 2)/2 = 1.75;

 

Получили два отрезка: [1.5; 1.75] и [1.75; 2].

Для отрезка [1.5; 1.75] значения функции имеют разные знаки. В самом деле,

 

.52 - 1.5 - 1 = -0.25;

.752 - 1.75 - 1 = 0.3125;

- 2 - 1 = 1.

) z3 = (1.5 + 1.75)/2 = 1.625;

Получили два отрезка: [1.5; 1.625] и [1.625; 1.75].

Для отрезка [1.5; 1.625] значения функции имеют разные знаки. В самом деле,

 

.52 - 1.5 - 1 = -0.25;

.6252 - 1.625 - 1 = 0.015625;

.752 - 1.75 - 1 = 0.3125.

) z4 = (1.5 + 1.625)/2 = 1.5625;

 

Получили два отрезка: [1.5; 1.5625] и [1.5625; 1.625].

Для отрезка [1.5625; 1.625] значения функции имеют разные знаки. В самом деле,

 

.52 - 1.5 - 1 = -0.25;

.56252 - 1.5625 - 1 = -0.12109375;

.6252 - 1.625 - 1 = 0.015625.

) z5 = (1.5625 + 1.625)/2 = 1.59375;

 

Получили два отрезка: [1.5625; 1.59375] и [1.59375; 1.625].

Для отрезка [1.59375; 1.625] значения функции имеют разные знаки. В самом деле,

 

.56252 - 1.5625 - 1 = -0.12109375;

.593752 - 1.59375 - 1 = -0.053710937;

.6252 - 1.625 - 1 = 0.015625.

) z6 = (1.59375 + 1.625)/2 = 1.609375;

 

Получили два отрезка: [1.59375; 1.609375] и [1.609375; 1.625].

Для отрезка [1.609375; 1.625] значения функции имеют разные знаки. В самом деле,

1.593752 - 1.59375 - 1 = -0.053710937;

.6093752 - 1.609375 - 1 = -0.019287109;

.6252 - 1.625 - 1 = 0.015625.

) z 7= (1.609375 + 1.625)/2 = 1.6171875;

 

Получили два отрезка: [1.609375; 1.6171875] и [1.6171875; 1.625].

Для отрезка [1.6171875; 1.625] значения функции имеют разные знаки. В самом деле,

 

.6093752 - 1.609375 - 1 = -0.019287109;

.61718752 - 1.6171875 - 1 = -0.001891589;

.6252 - 1.625 - 1 = 0.015625.

) z 8= (1.6171875 + 1.625)/2 = 1.62109375;

 

Получили два отрезка: [1.6171875; 1.62109375] и [1.62109375; 1.625].

Для отрезка [1.6171875; 1.62109375] значения функции имеют разные знаки. В самом деле,

 

.61718752 - 1.6171875 - 1 = -0.001891589;

.621093752 - 1.62109375 - 1 = 0.006851196;

.6252 - 1.625 - 1 = 0.015625.

) z 9= (1.6171875 + 1.62109375)/2 = 1.619140625;

 

Получили два отрезка: [1.6171875; 1.619140625] и [1.619140625; 1.62109375].

Для отрезка [1.6171875; 1.619140625] значения функции имеют разные знаки. В самом деле,

 

1.61718752 - 1.6171875 - 1 = -0.001891589;

.6191406252 - 1.61940625 - 1 = 0.002475738;

.621093752 - 1.62109375 - 1 = 0.006851196.

) z 10= (1.6171875 +1.619140625) /2 = 1.618164063;

 

Получили два отрезка: [1.6171875; 1.618164063]и [1.618164063; 1.619140625].

Для отрезка [1.6171875; 1.618164063] значения функции имеют разные знаки. В самом деле,

 

.61718752 - 1.6171875 - 1 = -0.001891589;

.6181640632 - 1.618164063 - 1 = 0.00029084;

.6191406252 - 1.61940625 - 1 = 0.002475738.

 

На десятом шаге мы нашли корень уравнения с точностью до сотых:

 

х 1.61.

 

Метод половинного деления очень трудоемкий, требует построения графиков для определения промежутка, на котором находится корень. Причем, только на десятом шаге мы получили значение с тремя устойчивыми цифрами.

Нахождение корня уравнения методом последовательных приближений

Решим методом последовательных приближений уравнение.

 

Х2 - х - 1 = 0

Х2 = х +1 /х

Х = 1 + 1/х

а) графически или методом проб находят первое приближение корня

х = х0. (см. график в приложении 1, в приложении 2 представлены графики только с положительной точкой пересечения).

Х0 = первое приближение корня

б) в правую часть уравнения х = 1 + 1/х подставим х0 и тогда х1 = 1 + 1/х0 - второе приближение корня.

в) подставляем в правую часть уравнения х = 1 + 1/х х1 вместо х.

 

Х2 = 1 + 1/х1 - третье приближение корня.

 

г) таким образом, приближения получаются по следующей схеме:

 

х1 = 1 + 1/х0

Х2 = 1 + 1/х1

Х3 = 1 + 1/х2

Х4 = 1 + 1/х3 и т.д.

 

Были получены следующие значения:

 

Х0 = 2;

Х1 = 1,5;

Х2 = ;

Х3 = = 1.6;

Х4 = =1.625;

Х5 = 1.6154;

Х6 = 1.6191;

Х7 = 1.6177;

Х8 = ;

Х9 =

Х10 =

 

<

s