"Приближенные вычисления" – разработка факультативного курса и проектирование творческой задачи для 7-8 классов

Дипломная работа - Педагогика

Другие дипломы по предмету Педагогика

Скачать Бесплатно!
Для того чтобы скачать эту работу.
1. Пожалуйста введите слова с картинки:

2. И нажмите на эту кнопку.
закрыть



адшего разряда. Для определения погрешности важно знать об источниках ее возникновения. Выделим причины возникновения погрешностей при решении задач:

1)математическое описание задачи является неточным, в частности неточно заданы исходные данные описания;

2)применяемый для решения метод часто не является точным: получение точного решения возникающей математической задачи требует неограниченного или неприемлемо большого числа арифметических операций; поэтому вместо точного решения задачи приходится прибегать к приближенному;

)при выполнении арифметических операций производятся округления.

Разработана типология погрешностей в соответствии с причинами, т. е. выделяют три типа погрешности.

Типы погрешности, соответствующие этим причинам:

1)неустранимая погрешность:

погрешность, являющаяся следствием неточности задания числовых данных, входящих в математическое описание задачи;

погрешность математической модели:

погрешность, являющаяся следствием несоответствия математического описания задачи реальности;

2)погрешность метода;

3)вычислительная погрешность.

В нашей работе затронут один тип погрешности, а именно, вычислительная погрешность. Она появляется при нахождении корней квадратных уравнений, при выполнении арифметических операций.

Заметим, что квадратным уравнением называют уравнение вида:

2 + bx + c = 0,

 

а квадратным корнем из числа A называют такое число, которое в квадрате дает число A.

При решении математических задач, далеко не всегда бывает нужно знать абсолютно точный ответ, достаточно найти его приближенное значение, с приемлемой точностью. Более того, часто указать точный результат в виде числа невозможно. Например, при решении некоторого уравнения в ответе мы получили . Чтобы получить числовой результат, следует заглянуть в таблицы квадратных уравнений или вооружиться калькулятором. Ну а если в нужный момент их не окажется под рукой, то придется рассчитывать только на свои силы. Существует много способов приближенного вычисления корней.

Приближенное значение можно найти с заданной точностью, например, с точностью до сотен, десятков, единиц, десятых, сотых и т. д.

Остановимся подробнее на термине приближение. Приближенным значением числа A называют число a, незначительно отклоняющееся от точного числа А и заменяющее последнее в вычислениях. Если а A - приближенное значение А по избытку.

Под скоростью сходимости мы подразумеваем то, насколько быстро некоторое число приближается к корню заданного уравнения.

При нахождении корней квадратного уравнения мы использовали два метода: последовательных приближений и половинного деления.

Чтобы пользоваться этими методами, необходимо квадратное уравнение f(x) = 0 переписать в виде . Будем рассматривать уравнение .

Метод последовательных приближений

а) графически или методом подбора находят первое приближение корня уравнения .

х = х0 - первое приближение корня.

б) в уравнение подставим х0 и тогда х1 = - второе приближение корня.

в) подставляем в уравнение х1 = х1 вместо х0.

х2 = - третье приближение корня.

г) таким образом, приближения получаются по следующей схеме:

 

х1 = ;

х2 = ;

х3 = ;

х4 = и т.д.

 

Этот метод имеет геометрическую интерпретацию:

а) изобразим кривые у = х и у = .

б) выберем некоторое приближенное значение корня х0.

в) проведем прямую х = х0.

г) прямая встретит рассматриваемые кривые в двух точках, выберем наиболее подходящую точку.

д) по найденному значению х = х0 определяем значение у = .

х0 - первое приближение корня.

Метод проделан на графиках, представленных в приложении.

Метод половинного деления

1.Построим графики функций:

 

у = х

у = .

 

2.Выберем отрезок [а, b], содержащий точку пересечения.

3.Отрезок [a, b] делим на две части точкой z1 = (a+b)/2 ;

.Если f(z1) = 0 то z1 - искомый корень. Если f(z1) 0, то из двух отрезков [a,z1] и [z1,b] выберем тот, для которого значение функции у = f(х) на его концах имеет разные знаки, и обозначим его через [a1,b1]. Если теперь взять точку Z2=(a1+b1)/2 то снова или f(z2) = 0 или f(z2) 0 и т.д.

В ходе работы нами были выделены критерии оценки методов:

. Вычислительная погрешность.

.Точность, которую вычисляют с помощью погрешностей и построения графиков.

.Быстрота - это то, как быстро можно вычислить приблизительно точные значения.

 

II. Практическая часть

 

1. Нахождение значений двух равенств и определение более точного равенства

В самом начале работы нами были рассмотрены равенства:

 

) . 2)

 

В первом равенстве х мы находили двумя способами. Опишем эти способы подробнее.

Способ 1: При нахождении х мы производили операцию округления в ходе решения.

 

Х1 = 1,4142; Х2 = 1,5538;

Х3 = 1,5981; Х4 = 1,6118;

Х5 = 1,6161;

Х6 = 1,6174;

Х7 = 1,61785;

Х8 = 1,61798;

Х9 = 1,6180.

 

Способ 2: Этот способ очень трудоемкий. Уже на втором шаге нужно проделывать большое количество операций.

 

А) Х1 =

х= 2

х1 = 1,4142;

б) Х2 =

х= 1 + 2+ 1 +1 = 3 + 2

 

Таким образом, при нахождении значения удобнее пользоваться первым способом. Он менее трудоемкий. Второй способ более трудоемкий и при этом также требует предварительного округления, например, при нахождении .

Значения второго равенства мы находили следующим о

s