Системи випадкових величин

Информация - Математика и статистика

Другие материалы по предмету Математика и статистика

Скачать Бесплатно!
Для того чтобы скачать эту работу.
1. Подтвердите что Вы не робот:
2. И нажмите на эту кнопку.
закрыть



 

.(3.2)

 

Доведення.

 

 

Точки мінімуму функції знаходяться як розвязок системи рівнянь

 

З врахуванням цього ця система рівнянь запишеться у вигляді

 

,

 

розвязок якої

 

, ,(3.3)

 

а значить середньоквадратична регресія Y на X остаточно запишеться у вигляді

 

(3.4)

 

Коефіцієнт називають коефіцієнтом середньоквадратичної регресії Y на X, а пряму

(3.5)

 

прямою середньої квадратичної регресії Y на X.

Мінімальне значення функції (3.2)при значеннях , (3.3б)дорівнює і називається залишковою дисперсією випадкової величини Y відносно величини X. Вона характеризує похибку апроксимації . При залишкова дисперсія дорівнює 0. Це означає, що при таких значеннях коефіцієнта кореляції випадкові величини X та Y звязані лінійною функціональною залежністю. Значна величина залишкової дисперсії є ознакою того, апроксимація (3.1) є невдалою. У цьому випадку слід користуватися апроксимацією поліномами другої , третьої, і вище, степені.

Аналогічно, можна одержати пряму середньоквадратичної кореляції X на Y:

 

.(3.6)

 

(коефіцієнт - коефіцієнт середньоквадратичної регресії X на Y , - залишкова дисперсія випадкової величини X відносно величини Y. При обидві прямі регресії співпадають.

З рівностей (3.4) та (3.6) слідує, що обидві прямі проходять через точку . Цю точку називають центром сумісного розподілу двовимірної випадкової величини.

Лінійна кореляція нормальних величин

Якщо обидві функції регресій X на Y та Y на X є лінійними функціями, то говорять, що X та Y звязані лінійною кореляційною залежністю. Графіки лінійних регресій прямі лінії, які співпадають з прямими середньоквадратичних регресій.

Якщо двовимірна випадкова величина (X ,Y) має нормальний закон розподілу у сукупності, то X та Y звязані лінійною кореляційною залежністю.

Доведення. Для спрощення густину нормального сумісного розподілу можна записати у вигляді

 

,

, , , .

 

Для знаходження регресії необхідно знайти розподіл компоненти :

 

,

.

 

З врахуванням цього

 

.

,

,

 

Тому

 

.

 

Густина умовного розподілу компоненти

 

.

 

Порівнюючи одержану густину умовного розподілу з густиною нормального розподілу можна зробити висновок, що умовний розподіл компоненти є нормальним з математичним сподіванням (функцією регресії на )

 

та умовною дисперсією

 

.

 

Аналогічно можна одержати функцію регресії на

 

.

 

Видно, що обидві функцій регресій є лінійними, а значить кореляція між та є лінійною,що й треба було довести. Крім того видно, що прямі регресій

 

 

співпадають з прямими середньоквадратичної регресії (3.5) та (3.6).

s