Системи випадкових величин

Информация - Математика и статистика

Другие материалы по предмету Математика и статистика

Скачать Бесплатно!
Для того чтобы скачать эту работу.
1. Подтвердите что Вы не робот:
2. И нажмите на эту кнопку.
закрыть



задана густиною сумісного розподілу

 

.

 

Знайти ймовірність попадання випадкової точки у прямокутник з вершинами , ,,.

Розвязування. За формулою (1.7)

 

.

.

 

Функції

 

,(1.8a)

.(1.8b)

 

є інтегральними функціями розподілу компонент системи двох неперервних величин .

Приклад 1.6. Система випадкових величин задана густиною сумісного розподілу

 

.

 

Знайти інтегральні функції компонент.

Розвязування. За формулою (1.8а)

 

.

За формулою (1.8б)

 

.

 

За відомою густиною сумісного розподілу ймовірностей системи двох випадкових величин можна обчислити густину розподілу кожної її компоненти:

 

(1.9a)

(1.9b)

 

Доведення. З означення густини розподілу компоненти та з врахуванням (1.8a)

 

.

 

Аналогічно для другої компоненти:

 

 

Приклад 1.7. Двовимірний вектор задан густиною сумісного розподілу

 

 

Знайти густини розподілів компонент X та Y.

Розвязування. За формулою (1.9а) при

 

,

 

і при . Отже,

 

 

За формулою (1.9b) при

 

,

 

і при . Отже,

 

 

Дискретні випадкові двовимірні вектори однозначно визначаються також умовними розподілами компонент X,Y:

 

,

 

- умовна ймовірність події за умови того, що подія вже настала,

- умовна ймовірність події за умови, що подія вже настала.

За теоремою множення ймовірностей залежних подій

 

,(1.10а)

(),

, (1.10b)

().

 

Приклад 1.8. Необхідно обчислити умовні розподіли компоненти X системи випадкових подій із сумісним розподілом

 

y1 y2

 

при .

Розвязування. Імовірність події () за формулою (1.1b).

За формулою (1.10а)

 

,

,

.

 

Умовний розподіл компоненти X при

 

 

Імовірність події () за формулою (1.1b).

.

За формулою (1.10а)

 

,

,

.

 

Умовний розподіл компоненти X при

 

.

 

Імовірність події () за формулою (1.1a)

.

За формулою (1.10b)

 

,

.

 

Умовний розподіл компоненти Y при

 

.

 

Імовірність події () за формулою (1.1a)

.

За формулою (1.10b)

 

,

.

 

Умовний розподіл компоненти Y при

 

 

Імовірність події () за формулою (1.1a)

.

За формулою (1.10b)

,

.

 

Умовний розподіл компоненти Y при

 

.

 

Умовні густини розподілу компонент системи двох неперервних випадкових величин визначаються рівностями

 

,(1.11a)

,(1.11b)

 

- умовна густина розподілу ймовірності компоненти X при фіксованому значенню , - умовна густина розподілу ймовірності компоненти Y при фіксованому значенню .

Приклад 1.9. Двовимірний вектор заданий густиною сумісного розподілу

 

.

 

Знайти умовні розподіли компонент X та Y.

Розвязування. в крузі радіуса r і тому за формулою (1.11a)

 

при і

при .

У підсумку

 

 

Аналогічно за формулою (1.11b)

 

 

Як і будь-які інші густини розподілу, умовні ймовірності мають такі властивості

 

,

.

 

Дві випадкові величини є незалежними, якщо закон розподілу однієї з них не залежить від значення іншої. Умовні розподіли незалежних величин дорівнюють їх розподілам:

 

для неперервних величин і

 

.

 

для дискретних випадкових величин.

Необхідною та достатньою умовою незалежності випадкових величин є

 

,(1.12а)

 

або, як наслідок,

 

.(1.12b)

 

2. Характеристики системи двох випадкових величин

 

Система двох випадкових величин з достатньою точністю може характеризуватися початковими та центральними моментами компонент порядку , які є числами і тому називаються чисельними характеристиками, і умовними початковими та центральними моментами компонент порядку , які є функціями можливих значень компонент.

Початкові та центральні моменти означаються рівностями

 

(2.1а)

(2.1б)

 

Найбільш важливими серед них є математичне сподівання компонент, дисперсії компонент та кореляційний момент.

Математичні сподівання компонент означаються так:

 

(2.2а)

(2.2б)

 

З використанням математичних сподівань компонент початкові та центральні моменти системи двох випадкових величин можна означити більш зручним способом:

 

,(2.3а)

,(2.3б)

 

(- центровані компоненти);

Дисперсії компонент означаються тотожностями

 

,(2.4а)

;(2.4б)

 

Кореляційний момент характеризує лінійний звязок між випадковими величинами. Він означається як центральний момент і позначається :

,(2.5)

(2.6)

 

Кореляційний момент часто називають коваріацією і позначається .

З використанням кореляційного моменту і коефіцієнта кореляції 3 у властивість дисперсії (3.3.2.7) можна узагальнити на випадок суми (різниці) довільних випадкових величин:

 

.(2.7)

Доведення.

.

.

 

Для незалежних випадкових величин кореляційний момент дорівнює нулю:

.

Доведення.

 

.

s