Системи випадкових величин

Информация - Математика и статистика

Другие материалы по предмету Математика и статистика

Скачать Бесплатно!
Для того чтобы скачать эту работу.
1. Подтвердите что Вы не робот:
2. И нажмите на эту кнопку.
закрыть



 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

СИСТЕМИ ВИПАДКОВИХ ВЕЛИЧИН

(реферат)

 

Вступ

 

N-вимірний вектор (t-індекс транспонування) називається випадковим, якщо його координати є випадковими величинами. Вектор називають дискретним, якщо його координати дискретні випадкові величини, неперервним, якщо його компоненти неперервні випадкові величини і змішаним, якщо частина його компонент дискретні випадкові величини, а інша частина неперервні випадкові величини. Випадкові N-вимірні вектори називають ще системою N випадкових величин або багатовимірними випадковими величинами. В подальшому розглядаються двовимірні випадкові вектори (системи двох випадкових величин), які позначаються .

 

1. Розподіли системи двох випадкових величин

 

Система двох дискретних випадкових величин однозначно визначається сумісним розподілом ймовірностей, який можна задати матрицею

 

y1 y2 … ym

, (1.1)

().

 

Стовпчики матриці відповідають значенням випадкової величини Y , а рядки значенням випадкової величини X. Події утворюють повну групу подій, тому сума елементів матриці дорівнює 1:

 

.

 

Розподіли

 

,

 

називають розподілами компонент системи двох випадкових величин . Події , ,..., є несумісними, тому за теоремою додавання ймовірностей несумісних подій сума елементів і-рядка матриці дорівнює ймовірності значення :

.(1.1а)

 

Аналогічно, сума елементів j-стовпчика дорівнює ймовірності значення :

.(1.1b)

 

Приклад 1.1. Система двох випадкових величин задана сумісним розподілом

 

y1 y2

 

Знайти розподіли компонент системи випадкових величин.

Розвязування. За формулами (1.1а) та (1.1b)

 

;

;

;

; .

 

Отже, розподіли компонент

 

.

Будь-який двовимірний випадковий вектор (неперервний чи дискретний) однозначно визначається інтегральною функцією сумісного розподілу

 

, (1.2)

 

яка визначає ймовірність того, що випадкова величина X приймає значення менше ніж x, а менше ніж y. Геометрична інтерпретація інтегральної функції сумісного розподілу полягає в тому, що вона визначає ймовірність попадання випадкової точки у нескінченний заштрихований квадрат із вершиною в точці (рис 1.1).

Інтегральна функція розподілу випадкового вектора має такі очевидні властивості.

Властивість 1.

 

.

 

Властивість 2. Функція неспадна по кожному аргументу

 

, якщо ;

, якщо .

 

Властивість 3. Мають місце граничні співвідношення

 

, , , .

 

Властивість Для функція мають місце ще і такі граничні співвідношення

 

,

,

 

інтегральна функція розподілу компоненти X випадкового вектора .

інтегральна функції розподілу компоненти Y випадкового вектора .

З використанням функції розподілу (1.2) легко можна обчислити ймовірність попадання випадкової точки у напівсмугу та (рис 1.2)

 

, (1.3а)

.(1.3б)

 

Імовірність попадання випадкової точки у напівсмугу дорівнює приросту інтегральної функції сумісного розподілу по відповідному аргументу.

Доведення. Імовірність попадання у напівсмугу дорівнює різниці ймовірності попадання точки у нескінченний квадрат з вершиною ()і ймовірності попадання точки у нескінченний квадрат з вершиною (. Звідси і слідує рівність (1.3а)

Імовірність попадання випадкової точки у прямокутник утворений прямими

 

 

(рис.1.3) обчислюється за формулою

(1.4)

 

Доведення. Імовірність попадання у прямокутник дорівнює різниці ймовірності попадання точки у напівсмугу ()і ймовірності попадання у напівсмугу (). Звідси і слідує рівність (1.3а)

Приклад 1.2. Знайти ймовірність пападання випадкової точки у прямокутник обмеженний прямими , , , , якщо відома інтегральна функція сумісного розподілу

 

 

Розвязування. За формулою (1.4) в якій , , ,

 

 

Система двох неперервних випадкових величин однозначно визначається густиною сумісного розподілу ймовірностей

 

. (1.5)

Приклад 1.3. Знайти густину сумісного розподілу системи випадкових величин, якщо відома інтегральна функція сумісного розподілу

 

 

Розвязування. За формулою (1.5)

 

 

Інтегральна функція сумісного розподілу неспадна по кожному аргументу і тому

 

.

 

За відомою густиною сумісного розподілу інтегральну функцію сумісного розподілу можна визначити за формулою

 

(1.6)

 

Приклад 1. Знайти інтегральну функцію сумісного розподілу системи випадкових величин, якщо відома густина сумісного розподілу

 

.

 

Розвязування. За формулою (1.6)

 

.

 

Враховуючи , що (властивість 3), для густини сумісного розподілу можна записати рівність нормування

 

.

 

Ймовірність попадання випадкової точки у довільну область (рис.1.3) обчислюється за формулою

 

,(1.7)

 

яка одразу слідує з означення подвійного інтеграла

Приклад 1.5. Система випадкових величин

s