Система математических расчетов MATLAB

Методическое пособие - Компьютеры, программирование

Другие методички по предмету Компьютеры, программирование

Скачать Бесплатно!
Для того чтобы скачать эту работу.
1. Пожалуйста введите слова с картинки:

2. И нажмите на эту кнопку.
закрыть



эффициентов

 

A =

0 -6 -1

6 2 -16

-5 20 -10

 

и начальными условиями x(0)

 

x0 = [ 1 1 1].

 

Использование матричной экспоненты для вычисления решения дифференциального уравне-ния в 101 точке с шагом 0.01 на интервале 0 ≤ t ≤ 1 записывается в виде

 

X = [ ];

for t = 0 : 0.01 : 1

X = [X expm(t*A)*x0];

end

 

Трехмерный график решения в фазовом пространстве может быть получен при помощи спе-циальной функции

plot3(X(1,:), X(2,:), X(3,:), -o)

 

Решение имеет вид спиральной функции сходящейся к началу координат (см. рис. ниже). Та-кое решение обусловлено комплексными собственными значениями матрицы коэффициен-тов А.

 

 

 

 

Собственные значения и собственные векторы

 

Собственным значением и собственным вектором квадратной матрицы А называются ска-ляр λ и вектор v, удовлетворяющие условию

Av = λv

 

Диагональная декомпозиция

 

Имея диагональную матрицу Λ, составленную из собственных значений λ матрицы А и мат-рицу V , составленную из соответствующих собственных векторов v, можно записать

 

AV = VΛ

 

Если матрица V несингулярная, на основании данного выражения получаем спектральное разложение матрицы А

 

А = VΛV-1

 

Неплохой пример использования спектрального разложения дает рассмотренная выше мат-рица коэффициентов линейного дифференциального уравнения. Ввод выражения

 

lambda = eig(A)

 

дает следующий вектор-столбец собственных значений (два из них являются комплексно-сопряженными)

 

lambda =

-3.0710

-2.4645 + 17.6008i

-2.4645 - 17.6008i

 

Действительные части всех собственных значения являются отрицательными, что обеспечи-вает устойчивость процессов в системе. Ненулевые мнимые части комплексно-сопряженных собственных значений обуславливают колебательный характер переходных процессов.

При двух выходных аргументах, функция eig вычисляет также собственные векторы и выда-ет собственные значения в виде диагональной матрицы

.

[V,D] = eig(A)

V =

-0.8326 0.2003 - 0.1394i 0.2003 + 0.1394i

-0.3553 -0.2110 - 0.6447i -0.2110 + 0.6447i

-0.4248 -0.6930 -0.6930

 

D =

-3.0710 0 0

0 -2.4645+17.6008i 0

0 0 -2.4645-17.6008i

 

Первый собственный вектор (первый столбец матрицы V) является действительным, а два других являются комплексно-сопряженными. Все три вектора являются нормализованными по длине, т.е. их Евклидова норма norm(v,2), равна единице.

Матрица V*D*inv(V), которая в более сжатой форме может быть записана как V*D/V, равна, в пределах погрешностей округления, матрице А. Аналогично, inv(V)*A*V, или V\A*V, рав-на, в пределах погрешностей округления, матрице D.

 

 

Дефектные матрицы

 

Некоторые матрицы не имеют спектрального разложения. Такие матрицы называются дефек-тными или не диагонализируемыми. Например, пусть матрица А имеет вид

 

A =

6 12 19

-9 -20 -33

4 9 15

 

Для этой матрицы ввод [V, D] = eig(A) дает

 

V =

-0.4741 -0.4082 -0.4082

0.8127 0.8165 0.8165

-0.3386 -0.4082 -0.4082

D =

-1.0000 0 0

0 1.0000 0

0 0 1.0000

 

Здесь имеются два положительных единичных кратных собственных значений. Второй и третий столбцы матрицы V являются одинаковыми и поэтому полного набора линейно-неза-висимых собственных векторов не существует (и поэтому не существует обратная матрица V-1).

 

 

Сингулярное разложение матриц

 

Сингулярным значением и соответствующими сингулярными векторами прямоугольной ма-трицы A называются скаляр σ и пара векторов u и v такие, что удовлетворяются соотноше-ния

Av = σu

ATu = σv

 

Имея диагональную матрицу сингулярных чисел Σ и две ортогональные матрицы U и V, сформированные из соответствующих собственных векторов, можно записать

 

AV = U Σ

ATU = V Σ

 

Поскольку U и V являются ортогональными матрицами, это можно записать в виде сингуляр-ного разложения

 

A = U ΣVT

 

Полное сингулярное разложение матрицы А размера mхn включает mхm матрицу U, mхn матрицу Σ, и nхn матрицу V. Другими словами, обе матрицы U и V являются квадратными , а матрица Σ имеет тот же размер, что и A. Если A имеет намного больше строк чем столб-цов, результирующая матрица U может быть достаточно большой, но большинство ее столб-цов умножаются на нули в Σ . В таких ситуациях может быть использована так называемая экономичная декомпозиция, которая сберегает как время так и память, за счет вывода матри-цы U размера mхn, матрицы Σ размера nхn и той же матрицы V.

Спектральное разложение являе

s