Система математических расчетов MATLAB

Методическое пособие - Компьютеры, программирование

Другие методички по предмету Компьютеры, программирование

Скачать Бесплатно!
Для того чтобы скачать эту работу.
1. Пожалуйста введите слова с картинки:

2. И нажмите на эту кнопку.
закрыть



тема уравнений Rx = b содержит два уравнения с четырьмя неизвестными. Поскольку матрица коэффициентов R содержит небольшие по величине целые числа, целесообразно представить решение в формате rational (в виде отношения двух целых чисел). Частное ре-шение представленное в указанном формате есть:

 

p = R\b

p =

0

5/7

0

-11/7

 

Одно из ненулевых решений есть p(2), потому что второй столбец матрицы R имеет наи-большую норму. Вторая ненулевая компонента есть p(4) поскольку четвертый столбец матрицы R становится доминирующим после исключение второго столбца (решение нахо-дится методом QR-факторизации с выбором опорного столбца).

 

 

 

 

Обратные матрицы и детерминанты

 

 

Если матрица А является квадратной и невырожденной, уравнения AX = I и XA = I имеют одинаковое решение X. Это решение называется матрицей обратной к A, обозначается через A-1 и вычисляется при помощи функции inv. Понятие детерминанта (определителя) матрицы полезно при теоретических выкладках и некоторых типах символьных вычислений, но его масштабирование и неизбежные ошибки округления делают его не столь привлекательным при числовых вычислениях. Тем не менее, если это требуется, функция det вычисляет определитель квадратной матрицы. Например,

 

A = pascal (3)

A =

1 1 1

1 2 3

1 3 6

 

d = det (A)

X = inv (A)

d =

1

 

X =

3 -3 1

-3 5 -2

1 -2 1

 

Опять таки, поскольку A является симметричной матрицей целых чисел и имеет единичный определитель, то же самое справедливо и для обратной матрицы. С другой стороны, для

 

B = magic(3)

B =

8 1 6

3 5 7

4 9 2

 

d = det(B)

X = inv(B)

d =

-360

X =

0.1472 -0.1444 0.0639

-0.0611 0.0222 0.1056

-0.0194 0.1889 -0.1028

 

Внимательное изучение элементов матрицы X, или использование формата rational , показы-вает, что они являются целыми числами, разделенными на 360.

Если матрица A является квадратной и несингулярной, то, пренебрегая ошибками округле-ния, выражение X = inv(A)*B теоретически означает то же, что и X = A\B , а Y = B*inv(A) теоретически есть то же, что и Y = B/A. Однако вычисления включающие операторы \ и / более предпочтительны, поскольку требуют меньше рабочего времени, меньшей памяти и имеют лучшие свойства с точки зрения определения ошибок.

 

 

Псевдообратные матрицы

 

Прямоугольные матрицы не имеют детерминантов и обратных матриц. Для таких матриц по крайней мере одно из уравнений AX = I или XA = I не имеет решения. Частично данный про-бел восполняется так называемой псевдообратной матрицей Мура-Пенроуза, или просто псевдообратной матрицей, которая вычисляется при помощи функции pinv. На практике необходимость в этой операции встречается довольно редко. Желающие могут всегда обра-титься к соответствующим справочным пособиям.

 

 

 

Степени матриц и матричные экспоненты

 

Положительные целые степени

 

Если А есть некоторая квадратная матрица, а р положительное целое число, то A^p эквива-лентно умножению A на себя р раз.

 

X = A^2

X =

3 6 10

6 14 25

10 25 46

 

 

Отрицательные и дробные степени

 

Если А является квадратной и невырожденной, то A^(-p) эквивалентно умножению inv(A) на себя p раз.

 

Y = B^(-3)

Y =

0.0053 -0.0068 0.0018

-0.0034 0.0001 0.0036

-0.0016 0.0070 -0.0051

 

Дробные степени, например A^(2/3), также допускаются; результаты при этом зависят от ра-спределения собственных значений матрицы А.

 

 

Поэлементное возведение в степень

 

Оператор .^ (с точкой !) осуществляет поэлементное возведение в степень. Например,

 

X = A.^2

A =

1 1 1

1 4 9

1 9 36

 

 

Вычисление корня квадратного из матрицы и матричной экспоненты

 

Для невырожденных квадратных матриц А функция sqrtm вычисляет главное значение квад-ратного корня , т.е. если X = sqrtm(A) , то X*X = A . Буква m в sqrtm означает, что выпол-няется матричная операция. Это отличает данную функцию от sqrt(A), которая, подобно A.^(1/2) (обратите внимание на точку !), выполняет операцию извленчения корня поэлемен-тно.

Система обыкновенных линейных дифференциальных уравнений первого порядка может быть записана в виде

dx/dt = Ax

 

где x = x(t) есть векторная функция от t, а A есть постоянная матрица не зависящая от t.

Решение данной системы может быть выражено в виде матричной экспоненты.

 

x(t) = Atx(0)

 

Функция expm(A) вычисляет матричную экспоненту. Рассмотрим пример системы диффере-нциальных уравнений со следующей 3х3 матрицей к

s