Синтез оптимальных уравнений

Курсовой проект - Математика и статистика

Другие курсовые по предмету Математика и статистика

Скачать Бесплатно!
Для того чтобы скачать эту работу.
1. Пожалуйста введите слова с картинки:

2. И нажмите на эту кнопку.
закрыть



волом Ax, т. е. y=Ax есть n-мерный вектор, координаты которого определяются формулами

(2.4)

Аналогично для любого r-мерного вектора u=(u1, u2,…, ur) через Bu обозначается вектор, i-я координата которого равна Таким образом, матрица A определяет линейное отображение координатного n-мерного пространства снова в n-мерное пространство, а матрица B определяет отображение r-мерного пространства в n-мерное.

Пользуясь матрицами A и B, мы можем теперь записать уравнения (2.1) в векторной форме:

(2.5)

Пусть u(t)=(u1, u2,…, ur) ─ произвольное допустимое (в смысле п. 4) управление, заданное на некотором отрезке t0≤tt1, и x0=(x10,…, xn0) ─ некоторая точка фазового пространства. Обозначим θ1, θ2,…, θk все точки, в которых хотя бы одна из функций u1(t), u2(t),…, ur(t) терпит разрыв, причём занумеруем эти точки таким образом, что t0<θ1<θ2<…<θk<t1. Подставив функции u1(t), u2(t),…, ur(t) в правые части системы (2.1),мы придём к системе уравнений

(2.6)

или в векторной форме,

(2.7)

Систему (2.7) мы рассмотрим сначала для значений t, удовлетворяющих неравенствам t0≤tθ1. На этом отрезке изменения аргумента существуют такие функции x1(t),…, xn(t), определённые и непрерывные на всём отрезке t0≤tθ1, которые, рассматриваемые на интервале t0<t<θ1, являются решениями системы (2.6) и, кроме того, удовлетворяют начальным условиям x1(t0)=x10, x2(t0)=x20,…, xn(t0)=xn0 (согласно сведениям из дифференциальных уравнений (см. книгу Л.С. Понтрягина Обыкновенные дифференциальные уравнения, Наука, М., 1965 (стр. 23, 24 и 168-172))).

Теперь мы можем рассмотреть систему (2.6) на отрезке θ1≤tθ2, воспользовавшись точкой γ1=(x1(θ1),…, xn(θ1), θ1) в качестве начального значения. На отрезке θ1≤tθ2 снова существует решение с начальным значением γ1. Это решение мы снова обозначим через x(t)=(x1(t),…, xn(t)). Теперь функция x(t) построена на отрезке t0≤tθ2 и непрерывна на всём этом отрезке (и, в частности, в точке сопряжения θ1;). Воспользовавшись, далее, новым начальным значением γ2=(x1(θ2),…, xn(θ2), θ2), мы продолжим эту функцию x(t) на отрезок θ2≤tθ3 и т. д. В конце концов мы определим x(t) на всём отрезке t0≤tt1.

Полученная функция x(t)=(x1(t),…, xn(t)) непрерывна на всём отрезке t0≤tt1 и является на нём кусочно-дифференцируемой; именно, во всех точках интервала t0<t<t1, кроме θ1, θ2,…, θk, функция x(t) непрерывно дифференцируема (и удовлетворяет системе (2.6)). Построенную функцию мы будем называть решением системы (2.6) (или уравнения (2.7)), соответствующим управлению u(t), при начальном условии x1(t0)=x10, x2(t0)=x20,…, xn(t0)=xn0. Наконец, мы будем говорить, что допустимое управление u(t), t0≤tt1, переводит фазовую точку из состояния x0 в состояние x1 (в силу закона движения (2.1) или (2.5)), если соответствующее ему решение x(t) системы (2.1), удовлетворяющее начальному условию x(t0)=x0, приходит в момент t1 в точку x1, т. е. удовлетворяет также конечному условию x(t1)=x1.

Теперь можно уточнить постановку задачи.

Линейной задачей оптимального управления мы будем называть задачу об отыскании оптимальных быстродействий в случае, когда выполнены следующие три условия:

  1. уравнения движения объекта линейны (см. (2.1) или (2.5));
  2. предписанное конечное состояние x1 совпадает с началом координат (0, 0,…, 0) n-мерного фазового пространства переменных x1, x2,…,xn;
  3. область управления U является r-мерным выпуклым многогранником в r-мерном пространстве (u1, u2,…, ur), причём начало координат этого пространства принадлежит многограннику U, но не является его вершиной.

Заметим, что начало координат xi=0, i=1,…,n, является положением равновесия системы

(2.8)

получающейся из системы (2.1) отбрасыванием управлений (т. е. получающейся из (2.1) при u1=u2=…=ur=0). Таким образом, условие 2) означает, что ищется управление, переводящее объект из заданного начального состояния x0 в положение равновесия.

  1. Принцип максимума. В пункте 6 мы сформулировали необходимое условие оптимальности, называемое принципом максимума. Данный пункт посвящён принципу максимума в случае линейной задачи оптимального управления. Вначале укажем те упрощения в формулировке принципа максимума, которые возникают в этом частном случае (т. е. в случае линейной задачи оптимального управления).

 

Заметим, прежде всего, что функция H (см. формулу (B) на стр. 10) принимает вид

(2.9)

(Здесь в правой части записаны скалярные произведения; например, ψAx есть скалярное произведение векторов ψ и Ax.)

Далее, рассмотрим систему дифференциальных уравнений для вспомогательных переменных ψ1, ψ2,…, ψn (см. формулу (C) на стр. 10). Мы имеем

Следовательно, система уравнений для вспомогательных переменных принимает вид

(2.10)

т. е. представляет собой так называемую сопряжённую систему (по отношению к линейной системе (2.8)). В векторной форме система (2

s