Синтез оптимальных уравнений

Курсовой проект - Математика и статистика

Другие курсовые по предмету Математика и статистика

Скачать Бесплатно!
Для того чтобы скачать эту работу.
1. Пожалуйста введите слова с картинки:

2. И нажмите на эту кнопку.
закрыть



>0, что согласуется со сделанными ранее (стр. 1) предположениями о свойствах объекта.

Тот факт, что задание начального фазового состояния (в момент t=t0) позволяет из системы (1.4) однозначно определить фазовую траекторию x(t), t>t0, вытекает из теоремы о существовании и единственности решений системы дифференциальных уравнений. Предположим, что, зная начальное фазовое состояние x0 и управление u(t)=(u1(t),…, ur(t)), мы определили фазовую траекторию x(t) (с помощью системы (1.4)). Если мы изменим управление u(t) (сохранив то же начальное состояние x0), то получим некоторую другую траекторию, исходящую из той же точки x0; вновь изменим управление u(t) получим ещё одну траекторию и т. д. Таким образом, рассматривая различные управления u(t), мы получим много траекторий, исходящих из точки x0 (рис. 12). (Разумеется, это не противоречит теореме единственности в теории дифференциальных уравнений, так как, заменяя функции u1(t),…,ur(t) другими функциями, мы переходим от системы дифференциальных уравнений относительно фазовых координат x1,…, xn.)

Напомним, что задача оптимального быстродействия заключается в отыскании такого управления u(t), для которого фазовая траектория x(t), соответствующая этому управлению в силу уравнения (1.5), проходит через точку x1 и переход из x0 в x1 осуществляется за кратчайшее время. Такое управление u(t) будем называть оптимальным управлением (в смысле быстродействия); точно так же соответствующую траекторию x(t) буде называть оптимальной траекторией.

  1. Допустимые управления. Обычно управляющие параметры u1,…,ur не могут принимать совершенно произвольные значения, а подчинены некоторым ограничениям. Так, например, в случае объекта, описанного на стр. 4, естественно предположить, что сила u, развиваемая двигателем, не может быть как угодно большой по величине, а подчинена ограничениям αuβ, где α и β некоторые постоянные, характеризующие двигатель. В частности, при α=─1, β=1 мы получаем ограничение ─1≤u≤1, которое означает, что двигатель может развивать силу, направленную вдоль оси x1 как в положительном, так и в отрицательном направлении, но не превосходящую единицы по абсолютной величине.

Для объектов, содержащих r управляющих параметров u1,…,ur, в приложениях часто встречается случай, когда эти параметры могут произвольно меняться в следующих пределах:

α1≤u1≤ β1, α2≤u2≤β2,…, αrurβr.

Иначе говоря, каждая из величин u1, u2,…,ur в уравнениях (1.2) представляет собой отдельный управляющий параметр, область изменения которого не зависит от значений остальных

 

управляющих параметров и задаётся неравенствами

αiuiβi, i=1,…,r.(1.6)

Заметим, что при r=2 точки u=(u1, u2), координаты которых подчинены неравенствам (1.6), заполняют прямоугольник; при r=3 неравенства (1.6) определяют в пространстве переменных u1,u2,u3 прямоугольный параллелепипед; в случае произвольного r говорят, что неравенства (1.6) определяют r-мерный параллелепипед.

В общем случае будем считать, что в соответствии с конструкцией объекта и условиями его эксплуатации задано в пространстве переменных u1,…, ur некоторое множество U и управляющие параметры u1, u2,…, ur должны в каждый момент времени принимать лишь такие значения, чтобы точка u=(u1,u2,…,ur) принадлежала множеству U. Иначе говоря, разрешается рассматривать лишь такие управления u(t), что u(t) U для любого t. Множество U в дальнейшем будем называть областью управления. Область управления U не всегда будет параллелепипедом; она может иметь геометрически более или менее сложный характер, так как в силу конструкции объекта между управляющими параметрами u1, u2,…,ur могут существовать связи, выражаемые, например, уравнениями вида φ(u1, u2,…, ur)=0 или неравенствами ψ(u1, u2,…, ur)≤0. Так, если параметры u1,u2 характеризуют векторную величину на плоскости, модуль которой не превосходит единицы, а направление произвольно, то эти параметры подчинены только одному условию

(u1)2 +(u2)2 ─1≤0(1.7)

и область управления U представляет собой круг. В дальнейшем будем предполагать, что указание области управления входит в математическое определение объекта, т. е. что для математического задания управляемого объекта надо указать закон его движения (1.2) и область управления U.

Наконец, сделаем ещё одно, весьма существенное предположение о характере управлений. Именно, будем предполагать, что рули, положения которых характеризуются управляющими параметрами u1,u2,…,ur, безынерционны, так что мы можем, если нужно, мгновенно переключать эти рули из одного положения в другое, т. е. менять скачком значения управляющих параметров u1,u2,…,ur. В соответствии с этим будем рассматривать не только непрерывные, но и кусочно-непрерывные управления u(t). Кроме того, будем предполагать, что каждое рассматриваемое управление u(t) непрерывно на концах отрезка t0≤tt1, на котором оно задано, т. е. что все точки разрыва, если они есть, расположены на интервале t0<t<t1. Для удобства условимся называть допустимым управлением всякую кусочно-

s