Синтез оптимальных уравнений

Курсовой проект - Математика и статистика

Другие курсовые по предмету Математика и статистика

Скачать Бесплатно!
Для того чтобы скачать эту работу.
1. Пожалуйста введите слова с картинки:

2. И нажмите на эту кнопку.
закрыть



собственные значения имеют отрицательные действительные части, то область управляемости совпадает со всем фазовым пространством X. Следовательно, для любой точки x0X существует оптимальное управление, переводящее фазовую точку x0 в начало координат.

5. Решение задачи синтеза для линейных задач второго порядка

  1. Упрощение уравнений линейного управляемого объекта. Нередко бывает, что в линейной задаче общая запись уравнений движения объекта в виде (2.1) неудобна и целесообразно воспользоваться некоторыми упрощениями. Мы здесь отметим стандартные упрощения, которые можно осуществить с помощью замены координат.
  2. Прежде всего, рассмотрим вопрос о замене координат в фазовом пространстве X рассматриваемого управляемого объекта. Предположим, что в пространстве X вместо координат x1,…, xn введены новые координаты y1,…, yn, связанные с прежними координатами соотношениями

(2.13)

(где матрицы P=(pij) и Q=(qij) взаимно обратны). Ясно, что при такой замене линейная система (2.1) превращается в новую линейную систему

коэффициенты которой легко вычисляются:

Таким образом, ,

Переходя к векторным обозначениям, можно сказать, что указанная замена координат переводит уравнение (2.5) в уравнение где матрицы C и D выражаются через матрицы A, B, P, Q по формулам C=QAP, D=QB.

Очевидно, при такой замене условия 1), 2), указанные на стр. 15, сохраняются и для уравнения получаемого после замены. Далее, каждый процесс (u(t), x(t)), удовлетворяющий уравнению переходит в процесс (u(t), y(t)), удовлетворяющий уравнению (и обратно). Так как при этом время t не меняется, то указанная замена переводит оптимальные процессы для уравнения (и наоборот). В частности, синтез оптимальных управлений для уравнения переводится с помощью преобразования координат (2.13) в синтез оптимальных управлений для уравнения .

Таким образом, если уравнение окажется проще и для него синтез оптимальных управлений можно будет построить, то из этого синтеза можно (с помощью афинного преобразования (2.13)) получит синтез и для первоначального уравнения . В этом и заключается смысл замены координат (2.13): она позволяет заменить матрицу A трансформированной матрицей C=QAP, в то же время вызывая лишь афинное искажение картины синтеза оптимальных управлений. Таким образом, преобразованием (2.13) можно воспользоваться для упрощения матрицы A, составленной из коэффициентов при фазовых координатах.

  1. Предположим, что в уравнении

    матрица A уже приведена к простейшему виду (с помощью описанного выше приёма). Укажем теперь, каким образом может быть упрощена матрица B, составленная из коэффициентов при управляющих параметрах.

  2. С этой целью положим

(2.14)

Это означает, что вместо r управляющих параметров u1,…,ur вводятся n других управляющих параметров v1,…, vn, благодаря чему система (2.1) заменяется следующей:

или в векторной форме,

Нужно только выяснить, в каких пределах может изменяться точка v=(v1, v2,…, vn). Удобно считать, что эта точка v=(v1, v2,…, vn) расположена в том же пространстве X, что и точка x=(x1,…, xn).

Соотношения (2.14) определяют линейное отображение r-мерного пространства переменных u1,…,ur в фазовое пространство X. Образом многогранника U при отображении (2.14) является некоторый выпуклый многогранник в пространстве X, который мы обозначим через V.

Таким образом, получаем два линейных уравнения:

(2.15)

(2.16)

Г л а в а III

СИНТЕЗ ОПТИМАЛЬНЫХ УПРАВЛЕНИЙ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА

6. Решение задачи синтеза в случае комплексных собственных значений

  1. Задача синтеза для малых колебаний маятника. Здесь будет дано полное решение задачи синтеза оптимальных управлений для линейных объектов, описываемых уравнениями второго порядка. Фазовое пространство X в этом случае представляет собой плоскость.

Рассмотрим колебание плоского маятника. Как известно колебание маятника, подвешенного к точке опоры, описывается дифференциальным уравнением второго порядка:

(в нашем случае положим β=1)

при малых колебаниях маятника Sinφ≈φ тогда уравнение движения маятника запишется в виде:

(3.1)

Управляющий параметр u (скалярный) будем предполагать изменяющимся в пределах 1u1.

Пусть угол отклонения, а скорость маятника. Тогда уравнение (3.1) перепишется в виде следующей нормальной системы:

(3.2)

На плоскости x1, x2 многогранник U будет представляться отрезком [1, 1], расположенным на оси x2. Легко видеть, что ось x2 не является собственным инвариантным подпространством матрицы A, которая для системы (3.2) имеет вид:

A=,

и потому условие общности положения всегда выполнено.

Найдём собственные значения матрицы A. Для этого составим характеристическое уравнение |λE─A|=0, т. е. λ2+λ+1=0. Откуда находим, что собственные значения матрицы A такие:

т. е. собственные значения матрицы A комплексные. Введём обозначения где b≠0.

 

 

Тогда матрица A преобразуется к виду:

=.

Будем рассматривать систему, соответствующую матрице , т. е. систему вида:

(3.3)

Вначале рассмотрим соответствующую однородную систему:

(3.4)

Общее решение этой системы имеет вид:

<

s