Синергетика – теория самоорганизации

Информация - История

Другие материалы по предмету История

Скачать Бесплатно!
Для того чтобы скачать эту работу.
1. Пожалуйста введите слова с картинки:

2. И нажмите на эту кнопку.
закрыть



акция шла, молекулы вещества X должны сталкиваться с молекулами Y. Очевидно, вероятность этого пропорциональна числу молекул X в единице объема (т.е. концентрации). Точно так же она должна быть пропорциональна концентрации. Коэффициент пропорциональности k зависит от размеров молекул, их скоростей и т.д. Все это и отражает формула (1). Если в реакции п молекул Х взаимодействуют с одной молекулой Y, то изменение концентрации вещества Z пропорционально XnY.

Обратимся теперь к самой модели. Пусть в некотором химическом реакторе превращения идут по следующей схеме:

A ↔ X, B + X ↔ Y + D, 2X + Y ↔ 3X, X ↔ E.

Концентрации веществ А и В в реакторе поддерживаются постоянными, и некоторым образом удаляются вещества D и Е, т. е. система является открытой. Будем считать, что скорости обратных реакций (k1, k2, k3, k4) гораздо меньше скоростей прямых реакций (k1, k2, k3, k4). В этих предположениях, обозначая через концентрацию вещества X, вещества A и т.д., получим из закона действующих масс следующую систему уравнений:

Концентрации реагентов и могут быть различными в разных точках, поэтому в уравнение входят члены D1xx, D2xx, учитывающие их диффузию. После несложных замен переменных, эквивалентных переходу к другой системе единиц

мы придем к системе уравнений в частных производных, называемых моделью брюсселятора:

Xt = A (B+1)X + X2Y + D1Xxx,
Yt=BX X2Y + D2Yxx.(2)Вещества X и Y остаются в реакторе, поэтому потребуем выполнения следующих краевых условий:

Xx(0, t) = Xx(l, t) = 0,
Yx(0, t) = Yx(l, t) = 0.(3)Поведение решений

Посмотрим, есть ли у уравнения (3) какие-нибудь простые решения, например не меняющиеся со временем (их называют стационарными) и однородные по пространству. При этом все производные в (3) становятся нулевыми и мы имеем систему обычных алгебраических уравнений:

А (B + 1)X + X2Y = 0, BX X2Y = 0

Ее единственное решение это Х = А, Y = B/А. В наших рассуждениях оно будет играть особую роль. Будем менять концентрацию вещества B и начальные распределения концентраций X(х, 0), Y(x, 0) и смотреть, как меняется поведение решения. В этом нам опять поможет ЭВМ.

Если концентрация вещества B невелика, то независимо от начальных данных через определенное время установятся концентрации Х(x, t) = A, Y(x, t) = B/A. Оказывается, такое замечательное решение (устойчивое стационарное, на которое независимо от начальных данных выходят изучаемые распределения параметров при небольших внешних воздействиях) есть у многих нелинейных систем. Оно получило название термодинамической ветви (в случае брюсселятора это решение Х = А, Y = B/A).

На первый взгляд кажется, что такая картина будет иметь место при любых В. Однако это не так. Если зафиксировать начальные концентрации Х(х, 0), Y(х, 0) и увеличивать значение B, то мы увидим, что начиная с некоторого критического значения B происходит выход на немонотонные стационарные распределения концентраций, например такие, как показаны на рис.1 и 2.

Рис. 1. Стационарные диссипативные структуры, возникающие в модели брюсселятора.
Параметры нелинейной среды: А = 2; B = 4,6; D1 = 1,6103; D2 = 8,0103

Рис. 2. Распределение концентрации X.
Два различных типа структур, возможных в одной и той же нелинейной среде при задании различных начальных данных. Параметры нелинейной среды: A = 2; B = 4,6; D1 = 1,6103; D2 = 8,0103.

Именно для таких стационарных неоднородных по пространству устойчивых решений, возникающих вне термодинамической ветви, И.Пригожиньм и было впервые введено понятие диссипативной структуры.

Прежде чем разбираться подробнее в свойствах таких решений, подчеркнем неожиданность полученного результата. Кажется очевидным, что в реакторе распределение реагирующих веществ по горизонтали (если сила тяжести направлена по вертикали) будет однородным по пространству. Модель брюсселятора показывает, что это не так: в среде могут возникать структуры, одни реагенты могут оказаться сосредоточены в одних частях реактора, другие в других. Здесь встает целый круг вопросов:

как меняют структуры характерные времена реакций?

какая концентрация вещества является оптимальной?

И много других. Такие вопросы возникают при решения ряда задач химической технологии.

Вернемся к модели брюсселятора. Стационарное решение Х = А, Y = B/A удовлетворяет краевой задаче при любых B. Следовательно, при B > В0 появляется несколько стационарных решений. Как говорят математики, происходит ветвление решений, или бифуркация. Аппарат теории бифуркаций, интенсивно развиваемый в настоящее время, широко используется в синергетике.

Мы зафиксировали начальные концентрации и меняли В. Поступим по-другому: зафиксируем какое-нибудь значение В > В0 и будем менять профили начальных концентраций X(х, 0), Y(x, 0). При некоторых значениях B можно наблюдать интересный эффект: при одних начальных данных имеет место выход на один стационар (стационарное решение), при других на другой. Два стационара, возможные при одних и тех же параметрах, показаны на рис.2. Причем выход на один и тот же стационар происходит с целого класса начальных концентраций, т.е. так же, как в модели тепловых структур здесь имеет место забывание деталей начальных данных. А что будет, если поставить систему в положение буриданова осла задать при тех же значениях начальные условия, приводящие к однородному решению Х(х, 0) = А, Y(x, 0) = B/A, соответствующему термодинамической ветви?

Роль флюктуаций

Если решение Х = А, Y = В/А поставлено идеально точно, то оно меняться не будет. Однако реально расчеты на ЭВМ дают другую картину. Даже очень м

s