Сингулярные интегралы

Дипломная работа - Педагогика

Другие дипломы по предмету Педагогика

Скачать Бесплатно!
Для того чтобы скачать эту работу.
1. Пожалуйста введите слова с картинки:

2. И нажмите на эту кнопку.
закрыть



их n окажется , что и требовалось доказать.

Эта теорема относится к представлению суммируемой функции в точках непрерывности, но суммируемая функция, вообще говоря, не имеет ни одной точки непрерывности, что понижает интерес этой теоремы.

Больший интерес представляет вопрос о представлении суммируемой функции в тех точках, где эта функция служит производной своего неопределенного интеграла, или в точках Лебега, так как и те и другие точки заполняют почти весь сегмент задания функции. Перейдем к рассмотрению этого вопроса.

Лемма (И. П. Натансон). Пусть на сегменте [a, b] дана суммируемая функция f (t), обладающая тем свойством, что

.(1)

Какова бы ни была неотрицательная убывающая функция g(t), заданная и суммируемая на [a, b], интеграл

(2)

существует (может быть как несобственный при t=a) и справедливо неравенство

.(3)

В пояснение условий леммы заметим, что не исключается случай, когда . Если же , то функция g(t) ограничена, и интеграл (2) существует как обычный интеграл Лебега.

Переходя к доказательству леммы, заметим, что не ограничивая общности, можно принять, что g(b)=0. Действительно, если бы это не было так, то можно было ввести вместо g(t) функцию g*(t), определив ее равенствами

g(t), если ,

g*(t)=

0, если t=b.

Доказав теорему для g*(t), мы затем смогли бы всюду заменить g*(t) на g(t), т. к. такая замена не отражается на величине интересующих нас интегралов. Итак, считаем, что g(b)=0.

Пусть a<α<b. На сегменте [α, b] функция g(t) ограничена, и интеграл

(4)

заведомо существует. Если положить , то интеграл (4) можно записать в форме интеграла Стилтьеса

,

откуда, после интегрирования по частям, находим

.

Но, в силу (1), мы имеем, что для любого h из интервала [0, t-a] выполняется неравенство и следовательно

,(5)

а так как g(t) убывает, то

.(6)

Значит . С другой стороны, функция g(t) возрастает. Отсюда и из (5) следует, что

.

Преобразуем стоящий справа интеграл по формуле интегрирования по частям:

.

Отсюда, учитывая (6), следует, что

.

Сопоставляя все сказанное, получаем:

.(7)

Хотя это неравенство установлено при предположении, что g(b)=0, но оно останется верным и без этого предположения. Значит, можно заменить здесь предел b на β, где α<β<b. Но тогда, устремляя α и β к a, получим,

чем доказывается существование интеграла (2). Если в (7) перейти к пределу при , то получим (3). Лемма доказана. (В оценке (3) множителя M уменьшить нельзя, так как при f (t)=1 в (3) достигается равенство.)

Теорема 2 (П. И. Романовский). Пусть ядро положительно и обладает следующим свойством: при фиксированных n и x ядро , как функция одного лишь t, возрастает в сегменте [a, x] и убывает в сегменте

[x, b].

Тогда для любой суммируемой функции f (t), которая в точке x является производной своего неопределенного интеграла, будет.

Доказательство. Так как есть ядро, то и достаточно проверить, что .

Разбивая последний интеграл на два, распространенные на сегменте

[a, x] и [x, b], рассмотрим второй из них, так как первый изучается аналогично.

Возьмем ε>0 и найдем такое δ>0, что при будет

,

что возможно, так как f (t) в точке t=x есть производная своего неопределенного интеграла. То есть и .

Тогда по предыдущей лемме

.

Так как есть ядро, то .

Величина, имеющая конечный предел, ограничена. Значит, существует постоянная K(x) такая, что .

Таким образом,

.

С другой стороны, если , то

.

Значит функции на сегменте [x+δ, b] равномерно ограничены и выполнено условие (5) теоремы Лебега из 1. Но второе ее условие, т. е. условие (6), также выполнено для этих функций, т. к. является ядром. Следовательно на сегменте [x+δ, b] слабо сходится к нулю, и для достаточно больших n будет .

При этих n окажется

,

так что

.

Теорема доказана.

В качестве примера ее приложения рассмотрим интеграл Вейерштрасса .

Функция есть ядро, т. к. при α<x<β

.

Эта функция положительна, и она возрастает при и убывает при . Значит, для всякой будет в каждой точке x, где f (t) есть производная своего неопределенного интеграла.

Определение. Функция Ψ(t, x) называется горбатой мажорантой функции , если и если Ψ(t, x) при фиксированном x возрастает на сегменте [a, x] и убывает на сегменте [x, b].

Теорема 3 (Д. К. Фаддеев). Если ядро при каждом n имеет такую горбатую мажоранту , что

,

где K(x) зависит лишь от x, то для любой , имеющей точку t=x точкой Лебега, будет справедливо равенство

.

Доказательство. Достаточно доказать, что

.

Возьмем ε>0 и найдем такое δ>0, что при будет

.

По лемме имеем

.

С другой стороны, в сегменте [x+δ, b] последовательность слабо сходится к нулю, т. к. при будет

.

Следовательно для достаточно больших n будет

.

При этих n окажется ,

так что . Теорема доказана.

3. Приложения в теории рядов Фурье

Во введении мы уже определили понятие ряда Фурье функции f (x) по любой ортонормальной системе . В частности, если речь идет о тригонометрической системе

,(1)

то рядом Фурье фу

s