Сингулярное разложение в линейной задаче метода наименьших квадратов

Дипломная работа - Математика и статистика

Другие дипломы по предмету Математика и статистика

Скачать Бесплатно!
Для того чтобы скачать эту работу.
1. Пожалуйста введите слова с картинки:

2. И нажмите на эту кнопку.
закрыть



мы, это будет верно для первых к столбцов QAP.

Все элементы матрицы QAP, стоящие на пересечении строк с номерами к+1,...,m и столбцов с номерами к+1,...,n, будут нулями. В противном случае rankQAP>k, что противоречит предположению rankA=k. Итак, QAP имеет форму, указанную правой частью (4). Теорема доказана.

Подматрицу [R:T] из правой части (18) можно теперь преобразовать к компактной форме, требуемой от матрицы R из теоремы 2. Это преобразование описывает следующая лемма.

Лемма 1. Пусть [R:T] ккматрица, причем R имеет ранг к. Существует ортогональная nnматрица W такая, что

где нижняя треугольная матрица ранга к.

Доказательство леммы вытекает из теоремы 3, если отождествить величины n, k, [R:T], W из формулировки леммы с соответствующими величинами m, n, AT, QT теоремы 3.

Используя теорему 3 и лемму 1 можно доказать следующую теорему.

Теорема 4. Пусть А mnматрица ранга к . Найдутся ортогональная mmматрица Н и ортогональная nnматрица К такие, что

(19)

причем R11 невырожденная треугольная ккматрица.

Заметим, что выбором Н и К в уравнении (19) можно добиться, чтобы R11 была верхней или нижней треугольной.

В (19) матрица А представлена произведением A=HRKT, где R некоторая прямоугольная матрица, ненулевые компоненты которой сосредоточены в невырожденной треугольной подматрице. Далее мы покажем, что эту невырожденную подматрицу R можно упростить далее до невырожденной диагональной матрицы. Это разложение тесно связано со спектральным разложением симметричных неотрицательно определенных матриц ATA и AAT (см. 11).

Теорема 5. Пусть А mnматрица ранга k. Тогда существуют ортогональная mmматрица U, ортогональная nnматрица V и диагональная mnматрица S такие, что

UTAV=S, A=USVT(20)

Матрицу S можно выбрать так, чтобы ее диагональные элементы составляли невозрастающую последовательность; все эти элементы неотрицательны и ровно к из них строго положительны.

Диагональные элементы S называются сингулярными числами А. Докажем сперва лемму для специального случая m=n=rankA.

Лемма 2. Пусть А nnматрица ранга n. Тогда существует ортогональная nnматрица U, ортогональная nnматрица V и диагональная nnматрица S такие, что UTAV=S, A=USVT и последовательные диагональные элементы S положительны и не возрастают.

Доказательство леммы. Положительно определенная симметричная матрица ATA допускает спектральное разложение

ATA=VDVT,(21)

где V ортогональная nnматрица, а D диагональная матрица, причем диагональные элементы D положительны и не возрастают. Определим S как диагональную nnматрицу, диагональные элементы которой суть положительные квадратные корни из соответствующих диагональных элементов D. Таким образом

D=STS=S2, S-1DS-1=I.(22)

Определим матрицу

U=AVS-1(23)

Из (21), (22), (23) и ортогональности V следует, что

UTU=S-1VTATAVS-1=S-1DS-1=I т.е. U ортогональна. Из (23) и ортогональности V выводим USVT=AVS-1SVT=AVVT=A Лемма доказана.

Доказательство теоремы 5. Пусть A=HRKT, где H, R, KT имеют свойства, указанные в теореме 4. Так как R11 из (19) невырожденная треугольная ккматрица, то согласно лемме 2 , можно написать

(24)

Здесь и ортогональные ккматрицы, а невырожденная диагональная матрица, диагональные элементы которой положительны и не возрастают. Из (24) следует, что матрицу R в уравнении (19) можно записать в виде

(25)

где:

ортогональная mmматрица;

ортогональная nnматрица;

ортогональная mnматрица;

Теперь, определяя U и V формулами

(26)

заключаем из (24) (26), что A=USVT, где U, S, V имеют свойства, указанные в формулировке теоремы 5. Это завершает доказательство.

Заметим, что сингулярные числа матрицы А определены однозначно, в то время, как в выборе ортогональных матриц U, V есть произвол. Пусть сингулярное число А, имеющее кратность l. Это значит, что для упорядоченных сингулярных чисел найдется индекс I такой, что

Положим k=min(m,n), и пусть Q ортогональная ккматрица вида

Здесь Р ортогональная llматрица Если A=USVT сингулярное разложение А и si=…=si+l-1, то сингулярным разложением А будет также и , где .

1.6. Число обусловленности

Некоторые вычислительные задачи поразительно чувствительны к изменению данных. Этот аспект численного анализа не зависит от плавающей арифметики или выбранного алгоритма.

Например:

Найти корни полинома: (x-2)2=10-6

Корни этого уравнения есть 2+10-3 и 2-10-3. Однако изменение свободного члена на 10-6 может вызвать изменение в корнях, равное 10-3.

Операции с матрицами, как правило, приводят к решению систем линейных уравнений. Коэффициенты матрицы в правой части системы линейных уравнений редко известны точно. Некоторые системы возникают из эксперимента, и тогда коэффициенты подвержены ошибкам наблюдения. Коэффициенты других систем записываются формулами, что влечет за собой ошибки округлений. В связи с этим необходимо знать, как влияют ошибки в коэффициентах матрицы на решение. Именно для этого вводится понятие обусловленности матрицы.

По определению число обусловленности есть величина . Для более подроб

s