Симметрические многочлены от трех переменных

Курсовой проект - Математика и статистика

Другие курсовые по предмету Математика и статистика

Скачать Бесплатно!
Для того чтобы скачать эту работу.
1. Пожалуйста введите слова с картинки:

2. И нажмите на эту кнопку.
закрыть



>

 

Ясно, что если какие-нибудь два корня уравнения совпадают, то в выражении () одна скобка обращается в нуль, а тогда и дискриминант равен нулю. Если же все корни попарно различны (то есть среди них нет ни одной пары совпадающих), то все скобки в выражении () отличны от нуля, а потому и дискриминант отличен от нуля. Итак, для того чтобы среди корней уравнения

 

x3+nx2+px+q=0

 

было хотя бы два совпадающих, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие =0.

Пусть теперь все корни кубического уравнения действительны и различны. Тогда T=(x1-x2)(x1-x3)(x2-x3) является отличным от нуля действительным числом, а значит, =(x1-x2)2(x1-x3)2(x2-x3)2 - положительное число.

Наконец, пусть корень x1 - действительный, а корни x2=, и x3= комплексно сопряжены. Тогда выражение T=(x1-x2)(x1-x3)(x2-x3) принимает вид

 

T=

 

Поэтому

 

=Т2=-4<0.

 

Итак, мы доказали следующее утверждение.

Пусть

x3+nx2+px+q=0

 

кубическое уравнение с действительными коэффициентами и

 

=-4n3q+n2p2+18npq-4p3-27q2.

 

дискриминант этого уравнения. Тогда:

а)если >0, то все три корня x1, x2, x3 действительны и различны;

б)если =0, то среди корней уравнения есть по крайней мере два совпадающих;

в)если <0, то один корень уравнения действительный, а два другие комплексно сопряжены.

Проведенное исследование не полно. Мы не научились еще отличать случай, когда два корня уравнения совпадают, а третий отличен от них, от случая, когда равны друг другу все три корня. Здесь уже дискриминант отказывается дать ответ и надо искать другой симметрический многочлен. Проще всего взять в этом случае в помощь дискриминанту симметрический многочлен

 

=(x1-x2)2+(x2-x3)2+(x3-x1)2=

 

Ясно, что если корни x1, x2, x3 действительны, то выражение лишь тогда обращается в нуль, когда все три корня x1, x2, x3 совпадают.

Таким образом,

если дискриминант кубического уравнения x3+nx2+px+q=0 обращается в нуль, то при n2-3p0 два корня этого уравнения совпадают, а третий отличен от них, а при n2-3p=0 все три корня уравнения равны между собой.

Заметим в исключение, что если в произвольный кубический многочлен x3+nx2+px+q ввести новое неизвестное y по формуле x=y-, то этот кубический многочлен примет вид y3+Py+Q, то есть в нем исчезнет член, содержащий квадрат неизвестного. Таким образом, любое кубическое уравнение может быть указанной заменой приведено к виду

 

y3+Py+Q=0.

 

Если уравнение уже приведено к такому виду, то выражения для и значительно упрощаются:

 

=-4P3-27Q2, =-6P.

 

Четные и нечетные перестановки.

Определение симметрических многочленов от трех переменных x, y, z рассмотренное ранее, можно сформулировать в несколько иной форме. Рассмотрим произвольную перестановку переменных x, y, z. Таких перестановок существует шесть: x может перейти при перестановке в любое из трех переменных x, y, z, затем в каждом из этих трех случаев y перейти в какое-либо из двух оставшихся переменных. Это и дает шесть возможностей для получения перестановок (при этом, если уже известно, во что переходят x и y, то для z остается только одна возможность: оно должно перейти в третье, оставшееся переменное). Все эти шесть возможных перестановок переменных x, y, z показаны на следующей диаграмме:

 

x y z x y z x y z

x z y z y x y x z

 

x y z x y z x y z

y z y z x z x y

 

Первые три перестановки (верхняя строка) заключаются в том, что некоторые два переменных меняются местами, а третье переменное не меняется. Иными словами, верхняя строка дает нам всевозможные перестановки двух переменных. Первая перестановка в нижней строке является тождественной, то есть ни одно переменное не меняется. Две другие перестановки, указанные в нижней строке, называются циклическими. Название это объясняется тем, что переменные последовательно заменяются одно другим (например, во второй перестановке нижней строки x переходит в y, y переходит в z, а z - в x), то есть эти перестановки можно схематически изобразить в виде кольца или, как говорят математики, цикла:

 

x x

z y z y

 

Таким образом, при циклической перестановки каждое переменное переходит по кругу в следующее.

По определению, многочлен ƒ(x, y, z) называется симметрическим, если он не меняется при перестановках, изображенных в верхней строке приведенной выше диаграммы. Разумеется симметрический многочлен (да и вообще любой многочлен) не меняется при тождественной перестановке, когда ни одно переменное x, y, z не меняет своего значения.

Возникает вопрос, остается ли симметрический многочлен неизменным и при циклических перестановках? Оказывается, что остается. Дело в том, что каждая из циклических перестановок может быть получена, если выполнить одну за другой две перестановки, меняющие местами два переменных. Например, если сначала поменять местами x и y, а после этого поменять местами x и z, то в результате x перейдет в y,y в z, а z в x, то есть получится циклическая перестановка. Но каждая перестановка двух переменных оставляет симметрический многочлен неизменным. Поэтому он не меняется, если два раза произвести перестановку двух переменных, а значит, не меняется и при циклических перестановках:

 

ƒ(x, y, z)=ƒ(y, z, x)=ƒ(z, x, y,).

 

Итак, определение симметрического многочлена от трех переменных можно сформулировать следующим образом: многочлен от трех переменных называется симметрическим, если он не изменяется ни при какой перестановке переменных.

Перестановки, изображенные в верхней строке приведенной выше диаг

s