Симметрические многочлены от трех переменных

Курсовой проект - Математика и статистика

Другие курсовые по предмету Математика и статистика

Скачать Бесплатно!
Для того чтобы скачать эту работу.
1. Пожалуйста введите слова с картинки:

2. И нажмите на эту кнопку.
закрыть



от иррациональности в знаменателе

 

Симметрические многочлены позволяют решать многие трудные задачи на освобождение от иррациональности в знаменателе.

В случае, когда знаменатель имеет вид или , эту задачу можно решить и без применения симметрических многочленов. Для этого достаточно использовать формулы

 

(x+y)(x-y)=x2-y2,

xn-yn=(x-y)(xn-1+xn-2y+xn=3y2+…+yn-1);

x2k+1+y2k+1=(x+y)(x2k-x2k-1y+x2k-2y2-…+y2k).

 

Например, если надо освободиться от иррациональности в знаменателе выражения

 

,

 

то сначала умножаем числитель и знаменатель на сопряженное выражение (что приводит знаменатель к виду ), потом - на . Мы получаем:

 

.

 

Теперь уже можно использовать вторую из приведенных выше формул. Положим в ней x=, y=. Тогда ясно, что надо умножить числитель и знаменатель на выражение

 

x2+xy+y2=.

 

После умножения получим:

.

 

Сложнее обстоит дело, если знаменатель состоит из трех или большего числа иррациональных слагаемых. Здесь-то и могут помочь симметрические многочлены.

Запишем формулы, которые позволяют избавиться от иррациональности в знаменателе с тремя слагаемыми.

 

 

полагая , , .

 

 

Рассмотрим следующие примеры.

1.Освободиться от иррациональности в знаменателе выражения

 

 

полагая , , .

Воспользуемся формулой:

 

====

=

 

АНТИСИММЕТРИЧЕСКИЕ МНОГОЧЛЕНЫ ОТ ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ

 

Определение и примеры

 

До сих пор мы рассматривали симметрические многочлены, то есть многочлены, не изменяющиеся при перестановке любых двух переменных. Теперь мы рассмотрим другой, очень близкий класс многочленов - антисимметрические многочлены. Так называют многочлены, меняющие знак при перестановке любых двух переменных.

Рассмотрим антисимметрические многочлены от трех переменных. Примером такого многочлена может служить многочлен

 

(x-y)(x-z)(y-z).

 

В самом деле, если поменять местами x и y, то он превратится в многочлен

 

(y-x)(y-z)(x-z)=-(x-y)(x-z)(y-z).

 

Точно так же он меняет знак при перестановке любых других переменных.

Отметим следующее важное свойство антисимметрических многочленов: квадрат антисимметрического многочлена является симметрическим многочленом.

В самом деле, после перестановки любых двух переменных антисимметрический многочлен меняет знак. Но это оставляет неизменным квадрат многочлена. Значит, квадрат антисимметрического многочлена не меняется при любой перестановке двух переменных, то есть является симметрическим многочленом.

Но не только квадрат антисимметрического многочлена симметричен. Если мы перемножим два произвольных антисимметрических многочлена, то получим в произведении симметрический многочлен. Ведь при перестановке любых двух переменных оба сомножителя меняют знаки, а потому произведение остается неизменным.

Наконец,

при умножении симметрического многочлена на антисимметрический получается антисимметрический многочлен.

В этом случае при перестановке двух переменных один множитель меняет знак, а второй не меняет.

 

Основная теорема об антисимметрических многочленах

 

Выясним теперь, как устроен произвольный антисимметрический многочлен. Последнее замечание предыдущего пункта указывает способ, с помощью которого можно построить сколько угодно антисимметрических многочленов. Достаточно взять какой-нибудь один такой многочлен и умножить его на всевозможные симметрические многочлены; в произведении мы будем получать антисимметрические многочлены.

Возникает естественный вопрос: можно ли найти такой антисимметрический многочлен, что, умножая его на всевозможные симметрические многочлены, мы получим все антисимметрические многочлены от трех переменных. Мы увидим, что ответ на этот вопрос утвердителен.

Покажем, что в этом случае искомым антисимметрическим многочленом является многочлен (x-y)(x-z)(y-z). Иными словами верна следующая

Любой антисимметрический многочлен ƒ(x, y, z) от трех переменных x, y, z имеет вид

ƒ(x, y, z)=(x-y)(x-z)(y-z)g(x, y, z),(6)

 

где, g(x, y, z) - симметрический многочлен от x, y, z.

Прежде чем доказывать эту теорему, мы установим следующую лемму.

Если ƒ(x, y, z) - антисимметрический многочлен, то

 

ƒ(x, x, z)=ƒ(x, y, x)=ƒ(x, y, y)=0

 

то есть если какие-нибудь два переменных совпадают, то антисимметрический многочлен обращается в нуль.

Тогда, в силу теоремы Безу, симметрический многочлен от трех переменных делится без остатка на выражения x-y, x-z, y-z. Но тогда он должен делиться и на произведение этих выражений, то есть на антисимметрический многочлен

 

Т=(x-y)(x-z)(y-z).

 

Таким образом, каждый антисимметрический многочлен ƒ(x, x, z) можно записать в виде ƒ(x, y, z)=(x-y)(x-z)(y-z)g(x, y, z), где g(x, y, z) - некоторый многочлен.

Чтобы закончить теперь доказательство теоремы, нам осталось показать, что многочлен g(x, y, z) симметричен. Для этого поменяем в соотношении (6) местами x и y:

 

ƒ(y, x, z)=(y-x)(x-z)(y-z)g(y, x, z).

 

Такая замена допустима, поскольку соотношение (6) является тождеством, то есть справедливо при любых значениях переменных x, y, z. Так как по условию ƒ(x, y, z)=-ƒ(y, x, z) и так как (x-y)(x-z)(y-z)=-(y-x)(y-z)(x-z), то отсюда вытекает, что

ƒ(x, y, z)=(x-y)(x-z)(y-z)g(y, x, z).

 

Сравнивая это соотношение с равенством (6), находим, что

 

(x-y)(x-z)(y-z)g(x, y, z)=(x-y)(x-z)(y-z)g(y, x, z),

 

и потому при xy справедливо равенство g(x, y, z)=g(y, x, z). Пр

s