Симметрические многочлены от трех переменных

Курсовой проект - Математика и статистика

Другие курсовые по предмету Математика и статистика

Скачать Бесплатно!
Для того чтобы скачать эту работу.
1. Пожалуйста введите слова с картинки:

2. И нажмите на эту кнопку.
закрыть



Замечание. Доказанная теорема показывает также, что если уже найденные значения величин , , , то для нахождения значений первоначальных неизвестных x, y, z (то есть для решения системы ()) достаточно составить кубическое уравнение () и найти его корни. В учебниках высшей алгебры можно найти формулы для решения кубических уравнений. Однако формулы эти сложны и на практике редко применяются. Чаще всего пытаются найти один корень кубического уравнения, после чего пользуются теоремой Безу:

Остаток от деления многочлена

 

ƒ(x)=a0xn+a1xn-1+…+an

 

на x-a равен значению этого многочлена при x=a, то есть равен числу

 

ƒ(a)=a0an+a1an-1+…+an.

 

Чтобы доказать эту теорему, разделим многочлен ƒ(x) на x-a. Мы получим частное, которое обозначим через q(x), и некоторый остаток r(x). Этот остаток является многочленом, степень которого меньше степени делителя x-a, то есть равна нулю. Поэтому r(x)=r является числом. Итак,

 

ƒ(x)=(x-a)q(x)+r.

 

Чтобы найти число r, положим в этом равенстве x=a. Мы получим ƒ(a)=r. Теорема Безу доказана.

Подчеркнем еще раз, что, решив кубическое уравнение (), мы находим сразу шесть решений для первоначальных неизвестных x, y, z: так как в систему () неизвестные x, y, z входят симметрично, то можно переставлять их и в решении.

Рассмотрим пример.

1.Решить систему уравнений

 

 

Введем новые неизвестные , , , положив

 

x+y+z=,

xy+xz+yz=,

 

xyz=.

В силу формул, приведенных в таблице 1, мы имеем для новых неизвестных систему уравнений:

 

 

Из этой системы находим:

В развернутом виде эта система записывается так:

 

x+y+z=2,

xy+xz+yz=-1,

xyz=-2.

Для решения этой системы составляем (согласно теореме) кубическое уравнение

 

u3-(u1+u2+u3)u2+(u1u2+u1u3+u2u3)u-u1u2u3=0,3-2u2-u+2=0.

 

Левая часть уравнения раскладывается на множители:

 

u3-2u2-u+2=(u-2)(u2-1).

 

Следовательно, корнями этого уравнения являются числа

 

u1=2, u2=1, u3=-1.

 

Поэтому наша исходная система имеет шесть решений, получающихся перестановками из решения

 

x=2, y=1, z=-1.

 

Заметим, что в некоторых случаях несложная предварительная замена переменных позволяет свести несимметричную систему к симметричной.

Разложение на множители.

Переход к элементарным симметрическим многочленам , , удобен не только для решения систем алгебраических уравнений, но и в других алгебраических задачах. В этом пункте мы рассмотрим задачи о разложении на множители.

Пусть ƒ(x, y, z) - симметрический многочлен от трех переменных. Чтобы разложить этот многочлен на множители, можно выразить его через , , и попытаться разложить на множители получившийся многочлен от , , .

Если это удастся, то, подставляя значения ,,, мы получим разложение на множители исходного многочлена ƒ(x, y, z).

Рассмотрим примеры.

1.Разложить на множители многочлен

 

 

2.Разложить на множители многочлен

 

 

В силу основных формул, необходимых для решения задач, наш многочлен можно записать в виде

 

 

Указанные приемы пригодны лишь в том случае, если симметрический многочлен удается разложить на симметрические множители.

 

Доказательство тождеств

 

В целом ряде задач на доказательство тождеств с успехом могут быть применены элементарные симметрические многочлены. Рассмотрим примеры.

1.Доказать тождество

=

=

==

==

==

=.

 

2.Доказать, что при a+b+c=0 справедливо тождество

 

.

 

Согласно таблице 3, мы имеем:

 

.

 

В этом примере нам понадобилось вычислить значение степенной суммы при условии, что . Эти значения приведены в следующей таблице:

 

Таблица 3

Выражения степенных сумм sn=xn+yn+zn через ,

при выполнении условия

s10s6s2s7s3s8s4s9s5s10

3.Разложить на множители многочлен

 

.

 

Полагая a=y-z, b=z-x, c=x-y, находим:

 

==

 

(мы воспользовались формулой приведенной в таблице 3).

 

Неравенства

 

Ясно, что для любых действительных чисел x,y,z справедливо неравенство

 

(x-y)+(y-z)+(z-x)0,

 

причем равенство достигается лишь в случае, когда x=y=z. Левая часть написанного неравенства является симметрическим многочленом от x, y, z. Раскрывая скобки, мы без труда перепишем это неравенство в виде или, используя формулы, приведенные в таблице 1

 

(5)

 

Итак, для любых действительных чисел x,y,z справедливо неравенство (5); равенство достигается лишь при x=y=z.

Из соотношения (5) можно получить целый ряд других неравенств. Рассмотрим примеры.

1.Доказать, что для любых действительных чисел a, b, c, справедливо неравенство

 

 

указанное неравенство имеет вид .

Неравенство (5) имеет вид

 

 

Полагая здесь x=ab, y=ac, z=bc, получаем:

 

 

Или

 

 

а это и есть доказываемое неравенство. (Равенство достигается лишь в случае, если a=b=c или если среди чисел a, b, c какие-либо два равны нулю.).

2.Доказать, что для любых положительных чисел a, b, c, справедливо неравенство

 

.

Указанное неравенство можно переписать в виде поскольку можно записать .

Так как числа a, b, c положительны, то , , . Потому неравенства , можно перемножить. Мы получаем . Сокращая на положительную величину , мы получаем требуемое неравенство .

(Равенство достигается лишь в случае, если a=b=c.).

 

Освобождени

s