Симметрические многочлены от трех переменных

Курсовой проект - Математика и статистика

Другие курсовые по предмету Математика и статистика

Скачать Бесплатно!
Для того чтобы скачать эту работу.
1. Пожалуйста введите слова с картинки:

2. И нажмите на эту кнопку.
закрыть



мм через , , .

Например,

 

(x2y2)=(0(x2)2-0(x4))=(s22-s4)=(()2-()=-2 (здесь мы применили формулу (3));

0(x4y2z)=0(x3y)=(0(x3)0(x)-0(x4))=(s3s1-s4)=

=(()-())=()

 

(применены формулы (2) и (4)).

В таблице 2 приведены выражения некоторых орбит 0(xkyl) через , , .

 

Таблица 2

Выражения орбит 0(xkyl) через , ,

0(xy)0(xy)0(xy)0(xy)0(x4y)0(xy)0(x5y)0(x4y2)0(xy)

Доказательство основной теоремы

 

Теперь нетрудно завершить доказательство основной теоремы.

Пусть ƒ(x, y, z) - симметрический многочлен и аxkylzm - одно из его слагаемых. В силу симметричности многочлена ƒ(x, y, z), он содержит вместе с этим слагаемым и всю орбиту 0(xkylzm), взятую с коэффициентом а. Таким образом,

 

ƒ(x, y, z)=а0(xkylzm)+ƒ1(x, y, z),

где ƒ1(x, y, z)- некоторый многочлен, который, симметричен и содержит меньше членов, чем ƒ(x, y, z). Из ƒ1(x, y, z) можно также выделить орбиту одного из его членов и так далее После конечного числа шагов мы разложим многочлен ƒ(x, y, z) на сумму орбит отдельных одночленов.

Итак,

Любой симметрический многочлен ƒ(x, y, z) есть сумма конечного числа орбит одночленов.

А так как каждая орбита выражается через , , , то и любой симметрический многочлен может быть выражен через , , . Тем самым основная теорема полностью доказана.

Все доказательство является конструктивным: оно содержит сравнительно несложный алгоритм, позволяющий любой симметрический многочлен выразить через , , .

Найдем выражение симметрического многочлена

 

ƒ(x, y, z)=x3+y3+z3-4xyz+2x2y+2xy2+2x2z+2xz2+2y2z+2yz2

через , , . Мы имеем:

ƒ(x, y, z)=0(x3)-40(xyz)+20(x2y)=

=()-4+2()=

 

Обратные степенные суммы

 

Степенные суммы, соответствующие отрицательным показателем, то есть выражения

 

s-k=x-k+y-k+z-k=

 

(где k=1, 2, 3,…), иногда называют обратными степенными суммами. Их легко выразить через , , , если заметить, что

.()

 

Однако можно поступить и по-другому. Достаточно заметить, что формула (1) справедлива для любых значений k (в том числе и отрицательных), поскольку при выводе этой формулы ни каких предположений относительно k не было сделано. Заменяя в формуле (1) k на l+3, легко находим:

 

()

 

С помощью полученной формулы () можно последовательно находить значения обратных степенных сумм:

 

 

и так далее Наоборот, имея вычисленные таким образом значения обратных степенных сумм, можно легко находить орбиты 0(xkyk), пользуясь формулой ():

 

(x2y2)=

0(x3y3)=

(x4y4)=

 

и так далее.

Основные формулы необходимые для решения задач:

 

x2y+xy2+x2z+xz2+y2z+yz2=

x2y2+x2z2+y2z2=

x3y+xy3+x3z+xz3+y3z+yz3=

 

Справедливость формул можно проверить, подставив значения , , .

симметрический многочлен уравнение переменное

 

ПРИМЕНЕНИЯ К ЭЛЕМЕНТАРНОЙ АЛГЕБРЕ

 

Решение систем уравнений с тремя неизвестными

 

Результаты выше сказанного позволяют решать некоторые системы алгебраических уравнений с тремя неизвестными. Если левые части уравнений симметрично зависят от неизвестных x, y,z, то удобно принять , , , за новые неизвестные. Выгода такой замены неизвестных заключается в том, что степени уравнений после замены уменьшаются (поскольку - многочлен второй степени, а - многочлен третьей степени). Иными словами, решение системы относительно новых неизвестных , , проще, чем решение первоначальной системы.

После того как найдены значения величин , , , нужно найти значения первоначальных неизвестных x, y, z. Это может быть сделано с помощью следующей теоремы.

Пусть , , - три произвольных числа. Кубическое уравнение

 

()

 

и система уравнений

 

()

 

связаны друг с другом следующим образом: если u1, u2, u3-корни кубического уравнения, (), то система уравнений () имеет шесть решений

 

 

(получающихся друг от друга перестановками) и других решений не имеет; обратно, если x=a, y=b, z=c - решение системы (), то числа a, b, c являются корнями кубического уравнения ().

Для доказательства этой теоремы нам понадобится следующая лемма.

Если u1, u2, u3 - корни кубического уравнения u3+pu2+qu+r=0, то имеют место соотношения:

 

u1+u2+u3=-p,1u2+u1u3+u2u3=q, u1u2u3=-r.

 

Эти соотношения называются формулами Виета для кубического уравнения. Покажем, откуда эти формулы вытекают. Итак, пусть u1, u2, u3 - корни кубического уравнения u3+pu2+qu+r=0; числа u1, u2, u3 могут быть действительными или комплексными. Тогда многочлен u3+pu2+qu+r следующим образом разлагается на множители:

 

u3+pu2+qu+r=(u-u1)(u-u2)(u-u3).()

 

Раскрывая скобки в правой части, находим:

 

u3+pu2+qu+r=u3-(u1+u2+u3)u2+(u1u2+u1u3+u2u3)u-u1u2u3.

 

Написанное равенство означает, что слева и справа стоит один и тот же многочлен, то есть что соответствующие коэффициенты в левой и правой частях совпадают. Иными словами,

 

-(u1+u2+u3)=p,1u2+u1u3+u2u3=q,

-u1u2u3=r,

 

что и доказывает лемму.

Доказательство теоремы. Если u1, u2, u3 - корни кубического уравнения (), то, согласно лемме, имеют место соотношения

 

u1+u2+u3=,1u2+u1u3+u2u3=,1u2u3=.

 

Но это и означает, что числа x=u1, y=u2, z=u3 составляют решение системы (). Еще пять решений получаются из этого перестановками значений неизвестных. То, что других решений система () не имеет, вытекает из последнего утверждения теоремы, которое мы сейчас докажем.

Итак, пусть x=a, y=b, z=c - решение системы (), то есть

 

a+b+c=,+ac+bc=,=.

 

Тогда мы имеем:

 

Это означает, что числа a, b, c являются корнями кубического уравнения (). Теорема доказана.

s