Симметрические многочлены от трех переменных

Курсовой проект - Математика и статистика

Другие курсовые по предмету Математика и статистика

Скачать Бесплатно!
Для того чтобы скачать эту работу.
1. Пожалуйста введите слова с картинки:

2. И нажмите на эту кнопку.
закрыть



ательства теоремы. Укажем те основные формулы, которые используются в этом доказательстве:

 

(9)

 

(в этой формуле слагаемые , у которых i>n, считаются равными нулю),

 

П(x1kx2l)=(n-2)!(sksl-sk+l),

(n-2)0П(x1kx2lx3m)=0П(x1kx2l)sm-0П(x1k+mx2l)-0П(x1kx2l+m)

 

и так далее

Вообще, для любых показателей k1,…, kr+1 справедливо соотношение

 

(n-r)0П()=0П()-=0П()-

П()-…-0П().

 

 

Выражение степенных сумм через элементарные симметрические многочлены

 

Формула (9) дает возможность последовательно, одну за другой, вычислять степенные суммы sk точно так же, как и в случае многочленов от двух или трех переменных. Формула эта справедлива для любого числа переменных; надо только помнить, что если рассматриваются многочлены от n переменных, то в формуле (9) должны быть вычеркнуты все члены, содержащие выражения с индексами i, большими чем n. Благодаря такому соглашению мы можем последовательно вычислять степенные суммы sk, и получающиеся формулы годятся для многочленов от любого числа переменных. Именно, выпишем соотношение (9) для значений k=1, 2,…:

 

s1=1;

s2=

s3=;

s4=

s5=;

s6=;

 

Из этих формул мы последовательно находим значения степенных сумм:

 

s1=;

s2=;

s3=;

s4=;

s5=;

s6=;

 

Как и формула (9), эти выражения степенных сумм справедливы для любого числа переменных; надо только помнить, что если рассматриваются многочлены от n переменных, то в этих соотношениях должны быть вычеркнуты все члены, содержащие обозначения с индексами i, большими чем n. Например, если в этих формулах вычеркнуть все члены, содержащие , , ,…, то мы получим выражения степенных сумм от трех переменных, то есть получим формулы, приведенные в таблице 1. Если же мы вычеркнем еще и члены, содержащие , то получим выражения степенных сумм от двух переменных и так далее

Формула Варинга также может быть написана для выражения степенных сумм от любого числа переменных.

Она имеет вид

 

;

 

суммирование здесь распространено на все наборы неотрицательных целых чисел, удовлетворяющие условию

 

,

 

а символу 0!, если он встречается, приписывается значение 1. доказательство формулы Варинга проводится методом математической индукции на основании соотношения (9).

 

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

 

1.Болтянский В.Г., Виленкин Н.Я.

Б79 Симметрия в алгебре. - 2-е изд. - М.: МЦНМО, 2002. - 240с. - ISBN 5-94057-041-0.

2.Курош А.Г.

К93 Курс высшей алгебры. - 11-е изд. - М.: Наука, 1975. - 431с.

s