Симметрические многочлены от трех переменных

Курсовой проект - Математика и статистика

Другие курсовые по предмету Математика и статистика

Скачать Бесплатно!
Для того чтобы скачать эту работу.
1. Пожалуйста введите слова с картинки:

2. И нажмите на эту кнопку.
закрыть



конец, будет установлено, что всякий симметрический многочлен представляется в виде суммы орбит.

 

Выражение степенных сумм через , , .

 

Итак, прежде всего мы покажем, что каждую степенную сумму Sk=xk+yk+zk можно представить в виде многочлена от , , .

 

sk=(1)

 

Эту формулу мы не будем выводить, а прямо проверим. Подставляя в правую часть соотношения (1) вместо величин:

 

, , ,

sk-1=xk-1+yk-1+zk-1, sk-2=xk-2+yk-2+zk-2, sk-3=xk-3+yk-3+zk-3,

(x+y+z)(xk-1+yk-1+zk-1)-(xy+xz+yz)(xk-2+yk-2+zk-2)+

+xyz(xk-3+yk-3+zk-3)=(xk+yk+zk+xyk-1+xk-1y+xzk-1+xk-1z+yzk-1+yk-1z)-

(xk-1y+xyk-1+xk-1z+xzk-1+yk-1z+yzk-1+xyzk-2+xyk-2z+xk-2yz)+(xk-2yz+xyk-2z+xyzk-2)=xk+yk+zk=sk.

 

Таким образом, правильность формулы (1) проверена.

Из этой формулы и вытекает справедливость нашего утверждения. Легко видеть, что степенные суммы s0, s1, s2 выражаются через , , :

 

s0=x0+y0+z0=1+1+1=3;1=x+y+z=;2=x2+y2+z2=(x+y+z)2-2(xy+xz+yz)=.

 

После этого формула (1) позволяет последовательно находить выражения следующих степенных сумм через , , : сначала s3, затем s4, s5 и так далее Иными словами, имея выражение степенных сумм s0, s1, s2 через , , , мы с помощью метода математической индукции (на основе формулы (1)) заключаем, что любая степенная сумма sk выражается через , , . Таким образом, наше утверждение доказано.

Формула (3) не только доказывает возможность выразить степенные суммы через , , , но и позволяет фактически находить эти выражения.

Иными словами, проведенное выше доказательство конструктивно, то есть оно указывает вполне определенную последовательность действий, позволяющую за конечное число шагов добраться до выражения произвольной степенной суммы sk через , , . В таблице 1 сведены выражения степенных сумм (до s10) через , ,

 

Таблица 1

Выражения степенных сумм sn=xn+yn+zn через , ,

s03s1s2s3s4s5s6s7s8s9s10

Орбиты одночленов

 

Существуют одночлены, не меняющиеся при перестановках переменных, то есть симметрические. Легко видеть, что в такой одночлен все переменные должны входить в одной и той же степени, то есть этот одночлен должен совпадать с произведением xkykzk.

Если же среди показателей одночлена xkylzm имеются различные, то этот одночлен уже не будет симметрическим. Чтобы получить симметрический многочлен, один из слагаемых которого является одночлен xkylzm, надо добавить к нему другие одночлены. Многочлен с наименьшим числом членов, одним из слагаемых которого является одночлен xkylzm, назовем орбитой этого одночлена и обозначим через 0(xkylzm).

Ясно, что для получения орбиты одночлена xkylzm надо прибавить к нему одночлены, получающиеся перестановкой переменных x, y, z. Если все три показателя k, l, m различны, то орбита 0(xkylzm) будет содержать шесть членов, получающихся из одночлена xkylzm перестановками переменных. Например:

 

(x5y2z)=x5y2z+x5yz2+x2y5z+x2yz5+xy5z2+xy2z5;

(x3y)=0(x3yz0)=x3y+xy3+x3z+xz3+y3z+yz3.

 

Если же в одночлене xkylzm два показателя совпадают, а третий одночлен от них, скажем k=l (но km), то перестановка переменных x, y не меняет одночлена xkylzm. В этом случае орбита содержит только три члена:

 

(xkylzm)=xkykzm+xkymzk+xmykzk

 

(mk). Например,

 

(xyz5)=xyz5+xy5z+x5yz,

(xy)=xy+xz+yz,

(x3y3)=x3y3+x3z3+y3z3.

 

Частными случаями таких орбит являются степенные суммы:

 

(xk)=0(xky0z0)=xk+yk+zk=sk.

 

Наконец, если k=l=m, то орбита является одночленом:

 

(xkykzk)=xkykzk.

Теперь покажем, что орбита любого одночлена выражается через и степенные суммы. А так как любая степенная сумма выражается через , , , то отсюда будет следовать, что орбита любого одночлена выражается через , , . Это будет вторым шагом в доказательстве основной теоремы.

Если одночлен xkylzm зависит только от одного переменного x (то есть l=m=0), наше утверждение очевидно: в этом случае орбита 0(xk)=sk сама является степенной суммой.

Перейдем к случаю, когда одночлен зависит от двух переменных, то есть имеет вид xkyl. Если kl, то имеет место формула

 

0(xkyl)=0(xk)0(xl)-0(xk+l) (kl).(2)

 

В самом деле,

 

(xk)0(xl)-0(xk+l)=(xk+yk+zk)(xl+yl+zl)-(xk+l+yk+l+zk+l)=

=(xk+l+yk+l+zk+l+xkyl+xlyk+xkzl+xlzk+ykzl+ylzk)-(xk+l+yk+l+zk+l)=

=xkyl+xlyk+xkzl+xlzk+ykzl+ylzk=0(xkyl).

 

Если же k=l, то формула (2) заменяется следующей:

 

(xkyk)=((0(xk))2-0(x2k).(3)

 

Справедливость формулы (3) также устанавливается непосредственной проверкой.

Наконец, если одночлен xkylzm зависит от всех трех переменных x, y, z, то одночлен xkylzm делится на некоторую степень одночлена xyz. Поэтому в многочлене 0(xkylzm) можно вынести за скобки некоторую степень одночлена xyz, после чего останется в скобках орбита некоторого одночлена, зависящего меньше чем от трех переменных x, y, z. Например,

 

(x2y3z4)=x2y3z4+x2y4z3+x3y2z4+x3y4z2+x4y2z3+x4y3z2=

(xyz)2(yz2+y2z+xz2+xy2+x2z+x2y)=(xyz)2 0(x2z),

(x3y5z5)= x3y5z5+x5y3z5+x5y5z3=(xyz)3(y2z2+x2z2+x2y2)=(xyz)30(x2y2)

 

и т. п. Вообще, если, например, km, lm, то

 

(xkylzm)=(xyz)m0(xk-myl-m)=0(xk-myl-m).(4)

 

Итак, если одночлен xkylzm зависит только от одного переменного, то орбита 0(xkylzm) является степенной суммой; если он зависит от двух переменных, то орбита 0(xkylzm) выражается через степенные суммы; наконец, случай, когда этот одночлен зависит от всех трех переменных x, y, z, сводится к предыдущим, если в многочлене 0(xkylzm) вынести за скобки общий множитель всех его членов. Легко видеть, что орбита любого одночлена выражается через и степенные суммы.

Приведенное выше доказательство также конструктивно: мы не только доказали возможность выразить каждую орбиту одночлена через , , , но и получили вполне определенный алгоритм, позволяющий для любой конкретно заданной орбиты найти ее выражение через , , . Основой этого алгоритма служат формулы (2), (3), (4) и найденное ранее выражение степенных с

s