Семантика оператора “case”

Информация - Компьютеры, программирование

Другие материалы по предмету Компьютеры, программирование

Скачать Бесплатно!
Для того чтобы скачать эту работу.
1. Пожалуйста введите слова с картинки:

2. И нажмите на эту кнопку.
закрыть



ельным процессом на рис.10.2.

Таким образом, мы видим, что циклы вида (2) тоже сводятся к последовательному выполнению операторов типа IF, пока выполняется условие BB.

Рассмотрим теперь циклы вида (3):

repeat S until B.

На интуитивном уровне действие операторов цикла этого вида можно описать так: после каждого выполнения оператора S надо проверять условие B. Если оно не выполняется, то надо выполнить S еще раз, если выполняется, то цикл заканчивается. Другими словами, оператор цикла вида (3) можно выразить оператор цикла вида (1) следующим образом:

repeat S until B;

S; while B do S.

Однако, как мы уже установили, оператор цикла вида (1) выражается через повторные выполнения оператора IF в соответствующей форме. Здесь уместно вспомнить, что при построении операции композиции повторения мы использовали операцию композиции выбора также.

Мы приходим к выводу, что все наши три вида операторов цикла сводятся к повторному выполнению соответствующего оператора IF. Назовем эту конструкцию, лежащую в основе всех этих операторов цикла, циклом вида DO. Ее вид представлен на рис. 11.5.

DO

if

B1 S1;

B2 S2;

. . .

Bn Sn

endif

ENDO

Рис 11.5. Цикл вида DO.

Еще раз напомним, как он работает. Последовательно просматриваются сверху вниз условия Bi, и для первого выполненного условия выполняется надлежащий оператор Si. После этого опять cверху вниз, начиная с первого, просматриваются условия Bi. Выполнение оператора if заканчивается, когда при очередном просмотре ни одно Bi не будет выполняться.

Итак, для определения семантики трех видов оператора цикла нам достаточно определить семантику оператора DO! Теперь, придя к пониманию того, что в основе всех циклов лежит конструкция DO, попытаемся выписать ее семантику, то есть определить вид предиката

wp(DO, R)

Для любого цикла нам важно обеспечить выполнение двух условий:

Оператор цикла обязательно заканчивается.

Работа этого оператора заканчивается в состоянии, удовлетворяющим постусловию R.

Обозначим C0(R) предикат следующего вида:

C0(R)=BBR,

где BB - конъюнкция условий в операторе DO, а R - постусловие.

Очевидно, что C0(R) выражает условия 1,2 для оператора цикла, т.е. что цикл заканчивается (это описывает условие BB) и заканчивается в состоянии R (это описывает второй конъюнкт R).

Обозначим

C1(R)= C0(R) wp(IF, C0(R)),

где wp(IF, C0(R)) - предусловие для оператора IF в операторе DO такое, что за одну итерацию цикла DO оператор IF переработает это состояние в состояние, удовлетворяющее условию C0(R), т.е. что цикл заканчивается и заканчивается в состоянии R.

Таким образом, условие C1(R) описывает состояние, на котором цикл DO закончится не более чем за одну итерацию в состоянии, удовлетворяющем R. Теперь обобщим предикат C1(R) для случая не одной итерации цикла, а k итераций,

Ck(R)= C0(R) wp(IF, Ck-1(R)), где k>0 .

Этот предикат выражает условие, что либо на текущем состоянии цикл заканчивается (член C0(R)), либо за одну итерацию цикла мы получим состояние, начиная с которого цикл закончится не более чем за k-1 итерацию (член wp(IF, Ck-1(R))).

Таким образом, нижеприведенный предикат:

k: k0: Ck(R)(11.1)

выражает условия 1,2 для циклов. Однако, он мало что нам дает для понимания внутреннего устройства цикла, семантики итераций.

Как мы уже сказали, важно гарантировать, что цикл закончится и непременно в состоянии, удовлетворяющем постусловию. Обеспечивает эту гарантию особое утверждение (предикат), сохраняющий истинность на любом состоянии, порождаемом в цикле. Этот предикат называется инвариантом цикла или просто инвариантом. Другими словами, цикл DO устроен таким образом, что состояния, которые мы получаем в конце каждой итерации, носят не произвольный характер, а подчиняются некоторому единому условию, которое называется инвариантом цикла.

Вернемся к нашим примерам 9.1 и 10.1. В примере 9.1 нетрудно заметить, что условие

s=( k: 1ki: 1/k)(11.2)

сохраняет истинное значение в течение всей работы цикла. Здесь запись

( k: 1ki: 1/k)

означает .

Для цикла из примера 10.1, приведенному на рис. 11.3, инвариант выглядит так:

P: s=(k: 1k<i: k))(11.3)

где s=k: 1k<i :k означает .

Таким образом, мы можем добавить к условию (11.1) утверждение

(i: 0i<k: PBB (IF, P)) (P BB) R ,

где P - инвариант цикла.

Другими словами, если P - инвариант, то он должен удовлетворять следующим условиям (11.4):

P должен выполняться непосредственно перед входом в цикл.

i: 1in: {PBi} Si {P}.

P BB R

В итоге получаем:

wp(DO, R) = k: k0: Ck(R) (i: 0i<k: PBB (IF, P)) (P BB R) ,

где P - инвариант цикла.

Заметим, что не любое утверждение на множестве состояний итераций цикла является инвариантом цикла. Инвариант должен конструктивно помогать доказательству корректности цикла, т.е. что цикл заканчивается, т.е.

P wp(DO, P BB)(11.5)

и что заканчивается в состоянии, удовлетворяющем R, т.е.

(P BB) R(11.6)

В качестве упражнения докажите, что инварианты (11.2) и (11.3) обладают свойствами (11.5) и (11.6).

Рассмотрим следующий пример:

Доказать, что в следующем цикле P - инвариант и цикл заканчивается в нужном состоянии R.

{{T} - т.е. начинается с произвольного состояния}

i:=10, s:=0;

{P: 0i10 s = (k: i+1k10: b[k])}

while i1 do begin s:=s+b[i]; i:=i-1; end

{R: s = (i: 1i10: b[i])}

Для того, чтобы доказать, что P - инвариант этого цикла, нам надо показать, что выполняются условия (11.4) 1-3. То, что P выполняется перед входом в цикл, доказать нетрудно. Для этого достаточно подставить в P значения i и s и учесть, что запись

( k: i+1k10: b[k])

при i=10 даст 0.

Докажем, что выполняется условие (11.4) 2., т.е.

k: 0k10: {PBk} S {P},

где Bk= k+i=10 i 1; s: s:=s+b[i]; i:=i-1

s