Решение линейных уравнений различными методами

ABCDEFG1112=(B3-B1)/(A3-A1)31,22,1=(C4-C2)/(A5-A1)4=(B5-B3)/(A5-A3)=(D5-D3)/(A7-A1)51,42,9=(C6-C4)/(A7-A3)=(E6-E4)/(A9-A1)6=(B7-B5)/(A7-A5)=(D7-D5)/(A9-A3)=(F7-F5)/ (A11-A1)71,63,8=(C8-C6)/(A9-A5)=(E8-E6)/(A11-A3)8=(B9-B7)/(A9-A7)=(D9-D7)/(A11-A5)91,85,2=(C10-C8)/(A11-A7)10=(B11-B9)/(A11-A9)1125,9

Решение линейных уравнений различными методами

Курсовой проект

Математика и статистика

Другие курсовые по предмету

Математика и статистика

Сдать работу со 100% гаранией

КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО-СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра прикладной информатики

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Курсовая работа по вычислительной математике

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Казань-2012

Решение СЛАУ итерационными методами

 

Задание: решить систему линейных уравнений методам Якоби вручную, на Бейсике с точностью 0,00001

 

3 х 1 +0,7 х 2 +0,2 х 3 +0,2 х 4 =4

,06 х 1 +5 х 2 +0,5 х 3 +0,5 х 4 =5

,3 х 1 +0,3 х 2 +3,5 х 3 +0,4 х 4 =-5

,3 х 1 +0,3 х 2 +0,4 х 3 +4 х 4 =5

 

Ручной счет по методу Якоби:

 

х 1 =(4 -0,7 х 2 - 0,2 х 3 - 0,2 х 4 )/ 3

х 2 =(5-0,06 х 1 -0,5 х 3 - 0,5 х 4 )/5

х 3 =(-5-1,3 х 1 -0,3 х 2 -0,4 х 4 )/3,5

х 4 =(5-0,3 х 1 -0,3 х 2 -0,4 х 3 )/4

 

Первая итерация:

X1(1) =(4 -0,7 *0 - 0,2*0 - 0,2*0)/ 3=1,333333333

X2(1) =(5-0,06*0 -0,5 *0 - 0,5*0 )/5=1

X3(1) =(-5-1,3 *0 -0,3*0-0,4*0)/3,5=-1,428571429

X4(1) =(5-0,3*0 -0,3*0-0,4*0)/4=1,25

Вторая итерация:

X1(2) =(4 -0,7 *1 - 0,2*(-1,428571) - 0,2*1,25)/ 3=1,1119

X2(2) =(5-0,06*1,3333 -0,5 *(-1,428571) - 0,5*1,25 )/5=1,001857

X3(2) = (-5-1,3 *1,3333 -0,3*1 -0,4*1,25)/3,5=-2,15238

X4(2) =(5-0,3*1,3333 -0,3*1 -0,4*(-1,428571))/4=1,217857

Третья итерация:

X1(3) =(4 -0,7 *1,001857 - 0,2*(-2,15238) - 0,2*1,217857)/ 3=1,161868

X2(3) =(5-0,06*1,1119 -0,5 *(-2,15238) - 0,5*1,217857 )/5=1,0801

X3(3) =(-5-1,3 *1,1119 -0,3*1,001857 -0,4*1,217857/3,5=-2,0666

X4(3) = (5-0,3*1,1119 -0,3*1,001857-0,4*(-2,15238))/4=1,3067

Четвертая итерация:

X1(4) =(4 -0,7 *1,0801 - 0,2*(-2,0666) - 0,2*1,3067)/ 3=1,13196

X2(4) =(5-0,06*1,161868 -0,5 *(-2,0666) - 0,5*1,3067 )/5=1,06204

X3(4) =(-5-1,3 *1,161868-0,3*1,0801 -0,4*1,3067)/3,5=--2,10204

X4(4) =(5-0,3*1,161868 -0,3*1,0801-0,4*(-2,0666))/4=1,28851

Пятая итерация:

X1(5) =(4 -0,7 *1,06204 - 0,2*(-2,10204) - 0,2*1,28851)/ 3=1,13975

X2(5) =(5-0,06*1,13196 -0,5 *(-2,10204) - 0,5*1,28851 )/5=1,0677

X3(5) =(-5-1,3 *1,13196-0,3*1,06204 -0,4*1,2885)/3,5=--2,0873

X4(5) =(5-0,3*1,13196 -0,3*1,06204-0,4*(-2,10204))/4=1,29565

Шестая итерация:

X1(5) =(4 -0,7 *1,0677 - 0,2*(-2,0873) - 0,2*1,29565)/ 3=1,1369

X2(5) =(5-0,06*1,13975 -0,5 *(-2,0873) - 0,5*1,29565 )/5=1,0654

X3(5) =(-5-1,3 *1,13975-0,3*1,0677 -0,4*1,29565)/3,5=--2,0915

X4(5) =(5-0,3*1,29565 -0,3*1,0677-0,4*(-2,0873))/4=1,29316

Седьмая итерация:

X1(5) =(4 -0,7 *1,0654 - 0,2*(-2,0915) - 0,2*1,29316)/ 3=1,13794

X2(5) =(5-0,06*1,1369 -0,5 *(-2,0915) - 0,5*1,29316 )/5=1,0661

X3(5) =(-5-1,3 *1,1369-0,3*1,0654 -0,4*1,29316)/3,5=--2,0899

X4(5) =(5-0,3*1,1369 -0,3*1,0654-0,4*(-2,0915))/4=1,29316

Проверка точности:

 

| X1(5) - X1(4)|=0.0009 <0.001

|X2(5) - X2(4)|=0.0007 <0.001

|X3(5) - X3(4)|=0.0015 <0.001

|X4(5) - X4(4)|=0.0008 <0.001

 

Точность достигнута.

Программа на Бейсике:

 

ClS

a=0

b=0=0=0

X1=(4-0.7*b-0.2*c-0.2*d)/3= (5-0.06*a-0.5*c-0.5*d)/5=(-5-1.3*a-0.3*b-0.4*d)/3.5=(5-0.3*a-0.3*b-0.4*c)/4x1, x2, x3, x4t=x1=x2=x3

d=x4

Goto 1

end

 

Результаты выполнения программы:

 

 

Интерполяционный многочлен Ньютона

 

Задача: построить интерполяционный многочлен Ньютона вручную использую Excel.

 

Таблица зависимости значений функции от аргумента

X11,21,4 1,61,82Y12,12,93,85,25,9

Ручной счет

Многочлен Ньютона находится по формуле:

 

 

В Excel вычислим коэффициенты

В столбце А находятся Xi, в столбце B находятся Yi.

 

Расположение вычисленных коэффициентов:

ABCDEFG1X0Y02Y(X0,X1)3X1Y1Y(X0,X1,X2)4Y(X1,X2)Y(X0,X1,X2,X3)5X2Y2Y(X1,X2,X3)Y(X0,X1,X2,X3,X4)6Y(X2,X3)Y(X1,X2,X3,X4)Y(X0,X1,X2,X3,X4,X5,X6)7X3Y3Y(X2,X3,X4)Y(X1,X2,X3,X4,X5)8Y(X3,X4)Y(X2,X3,X4,X5)9X4Y4Y(X3,X4,X5)10Y(X4,X5)11X5Y5

Формулы вычисления коэффициентов:

линейный уравнение интерполяционный аппроксимирующий сплайн

,

, и т.д. ,

и т.д. ,

и т.д.

,

 

 

Формулы в программе Excel:

ABCDEFG1112=(B3-B1)/(A3-A1)31,22,1=(C4-C2)/(A5-A1)4=(B5-B3)/(A5-A3)=(D5-D3)/(A7-A1)51,42,9=(C6-C4)/(A7-A3)=(E6-E4)/(A9-A1)6=(B7-B5)/(A7-A5)=(D7-D5)/(A9-A3)=(F7-F5)/ (A11-A1)71,63,8=(C8-C6)/(A9-A5)=(E8-E6)/(A11-A3)8=(B9-B7)/(A9-A7)=(D9-D7)/(A11-A5)91,85,2=(C10-C8)/(A11-A7)10=(B11-B9)/(A11-A9)1125,9

 

Таблица значений:

ABCDЕFG11125,531,22,1-3,75448,33333333351,42,91,257,32747E-1464,58,333333333-41,6666666771,63,86,25-41,6666666787-2591,85,2-8,75103,5 1125,9

Нужные коэффициенты выделены жирным. Подставим их в многочлен Ньютона:

 

N(x)=1+5,5(х-1)-3,75(х-1)(х-1,2)+8,3333(х-1)(х-1,2)(х-1,4)+0(х-1)(х-1,2)(х-1,4)(х-1,6)-41,667(х-1)(х-1,2)(х-1,4)(х-1,6)(х-1,8)=1+(x-1)(5,5-3,75(x-1,2))+(x-1)(x-1,2)(x-1,4)(8,3333-41,6667(x-1,6)(x-1,8))

 

В результате получим:

 

N(х)=-41,6667*x5+291,6668*x4-799,997*x3+1074,585*x2-02,183*x+178,6

 

Проверим значения полученной функции в заданных точках:

N(1)=-41,6667*15+291,6668*14-799,997*13+1074,585*12-702,183*1+178,6=1,0051

N(1,2)= - 41,6667*(1,2)5+291,6668*(1,2)4-799,997*(1,2)3+1074,585*(1,2)2-702,183*1,2+178,6=2,1081

N(1,4)= - 41,6667*(1,4)5+291,6668*(1,4)4-799,997*(1,4)3+1074,585*(1,4)2-702,183*1,4+178,6=2,9122

N(1,6)= - 41,6667*(1,6)5+291,6668*(1,6)4-799,997*(1,6)3+1074,585*(1,6)2-702,183*1,6+178,6=3,8176

N(1,8)= - 41,6667*(1,8)5+291,6668*(1,8)4-799,997*(1,8)3+1074,585*(1,8)2-702,183*1,8+178,6=5,2242

N(2)=-41,6667*25+291,6668*24-799,997*23+1074,585*22-702,183*2+178,6=5,9324

Полученные значения функции c учетом погрешности вычисления совпадают с табличными значениями. Соответственно делаем вывод, что многочлен Ньютона вычислен верно.

Формула в Excel для проверки найденного многочлена Ньютона:

 

=B1+C2*(A1-A1)+D3*(A1-A1)*(A1-A3)+E4*(A1-A1)*(A1-A3)*(A1-A5)+F5*(A1-A1)*(A1-A3)*(A1-A5)*(A1-A7)+G6*(A1-A1)*(A1-A3)*(A1-A5)*(A1-A7)*(A1-A9)

 

В ячейку А1 подставляем первое значение Х, для которого требуется узнать значение многочлена, растягиваем формулу до последнего значения.

 

Таблица результатов в Excel для табличных значений Х:

111,22,11,42,91,63,81,85,225,9

Вычисления произведены верно.

 

Получение аппроксимирующей функции методом наименьших квадратов

 

Задача: методом наименьших квадратов получить аппроксимирующую функцию и построить график.

 

Таблица зависимости значений функции от аргумента

X11,21,4 1,61,82Y12,12,93,85,25,9

Ручной счет:

Наша задача получить функцию вида:

 

 

Находя частные производные, получим систему уравнений:

 

 

Найдем коэффициенты: (n+1)=6

 

xx^2x^3x^4yy*xy*x^21111 1111,21,441,7282,07362,12,523,0241,41,962,7443,84162,94,065,6841,62,564,0966,55363,86,089,7281,83,245,83210,49765,29,3616,848248165,911,823,6Сумма: 914,223,439,966420,934,8259,884

Получим систему:

 

a 0 +9 a 1+14,2 a 2 =20,9

a 0+14,2 a 1 +23,4 a 2 =34,82

,2 a 0 +23,4 a 1 +39,9664 a 2 =59,884

 

Решим её методом Гаусса.

 

a 0 +9 a 1+14,2 a 2 =20,9 /*9

9 a 0+14,2 a 1 +23,4 a 2 =34,82 / *6, вычтем из 1 строки вторую

14,2 a 0 +23,4 a 1 +39,9664 a 2 =59,884

 

a 0 +9 a 1+14,2 a 2 =20,9 /*14,2

,2 a 1 -12,6 a 2 =-20,82

,2 a 0 +23,4 a 1 +39,9664 a 2 =59,884 /*6, вычтем из 1 строки третью

 

a 0 +9 a 1+14,2 a 2 =20,9

,2 a 1 -12,6 a 2 =-20,82 /*(-12,6)

,6 a 1 -38,1584 a 2 =-62,524 /*(-4,2)

 

a 0 +9 a 1+14,2 a 2 =20,9

-4,2 a 1 -12,6 a 2 =-20,82

-1,5052a 2 =-0,3108

 

В результате получаем:

a 2 = 0,2064

a 1 =4,3376

a 0 =-3,5415

Коэффициенты вычислены, подставим их в уравнение:

 

*(-3,5415)+9 *4,3376+14,2 *0,2064=20,90028

*(-3,5415)+14,2*4,3376+23,4*0,2064=34,82018

,2*(-3,5415)+23,4 *4,3376+39,9664*0,2064=59,8856

 

Вычисление произведено верно.

 

Построим график полученной функции y=-3,5415+4,3376*x+0,2064*x2 в Excel:

 

 

Подставляя в полученную функцию табличные значение x, посмотрим на отклонения значений функции от табличных:

 

XY таблYвыч|Yвыч-Yтабл|ϐ111,1008190,0325√(0,0325 2/6 + 0,1091642/6+0,065684 2/6 + 0,1570442/6 +0,235084 2/6 + 0,0893 2/6) =0,1324071,22,12,0788440,1091641,42,93,0702730,0656841,63,84,0751060,1570441,85,25,0933420,23508425,95,314050,0893Исходные точки.

 

 

Отличие графика полученной функции от исходного графика

 

 

Построение кубического сплайна

 

Задача: построить кубический сплайн по 6 точкам.

 

Похожие работы

1 2 >