Асимптота

Отсюда следует, что асимптота может быть определена как прямая, расстояние до которой от графика функции, то есть отрезок МР, стремится

Асимптота

Информация

Математика и статистика

Другие материалы по предмету

Математика и статистика

Сдать работу со 100% гаранией

МОСКОВСКИЙ ИНСТИТУТ ЭКОНОМИКИ,

МЕНЕДЖМЕНТА И ПРАВА

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

РЕФЕРАТ

 

 

 

по дисциплине: Высшая математика

на тему: Асимптоты (определение, виды, правила нахождения)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Выполнила: студентка 1 курса

Экономического факультета

(вечернее отделение)

Козлова М.А.

Проверил: Рошаль А.С.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Москва 2002 год

 

 

2

 

Содержание

 

Введение 3

2. Нахождение асимптоты 4

2.1 Геометрический смысл асимптоты 5

2.2 Общий метод нахождения асимптоты 6

3. Виды 8

3.1 Горизонтальная асимптота 8

3.2 Вертикальная асимптота 9

3.3 Наклонная асимптота 10

Использованная литература 12

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

Введение

 

Асимптота, так называемая прямая или кривая линия, которая, будучи продолжена, приближается к другой кривой, но никогда не пересекает ее, так что расстояние между ними делается бесконечно малой величиной.

Понятие асимптоты играет важную роль в математическом анализе. Они проводятся при изучении свойств многих кривых (гиперболы, конхоиды, логарифмич. линии, циссоиды и др.).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

2. Нахождение асимптоты

 

Пусть функция f (x) определена для всех x а (соответственно для всех

x а). Если существуют такие числа k и l, что f(x) kx l = 0 при х (соответственно при х ), то прямая

y = kx + l

называется асимптотой графика функции f (x) при x (соответственно при х ).

Существование асимптоты графика функции означает, что при х +

(или х ) функция ведёт себя «почти как линейная функция», то есть отличается от линейной функции на бесконечно малую.

x 3x 2

Найдём, например, асимптоту графика функции y = x 1

Разделив числитель на знаменатель по правилу деления многочленов,

2 2

получим y = x 4 + x + 1 Так как x + 1 = 0 при х , то прямая y = x-4

является асимптотой графика данной функции как при х + ,

так и при х .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

2.1 Геометрический смысл асимптоты

 

Рассмотрим геометрический смысл асимптоты. Пусть М = (x, f (x)) точка графика функции f, М - проекция этой точки на ось Ох, АВ асимптота,

- угол между асимптотой и положительным направлением оси Ох, ,

MP перпендикуляр, опущенный из точки М на асимптоту АВ, Q точка пересечения прямой ММ с асимптотой АВ (рис.1).

(рис.1)

 

Тогда ММ = f (x), QM = kx + l, MQ = MM QM = f (x) (kx +l),

MP = MQ cos . Таким образом, MP отличается от MQ лишь на не равный нулю множитель cos , поэтому условия MQ 0 и MP 0 при х (соответственно при х ) эквивалентны, то есть lim MQ = 0,

то и lim MP = 0, и наоборот. х

х

Отсюда следует, что асимптота может быть определена как прямая, расстояние до которой от графика функции, то есть отрезок МР, стремится к нулю, когда точка М = (x, f (x)) «стремится, оставаясь на графике, в бесконечность» (при х или, соответственно, х ).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

2.2 Общий метод отыскания асимптоты

 

Укажем теперь общий метод отыскания асимптоты, то есть способ определения коэффициентов k и l в уравнении y = kx + l.

Будем рассматривать для определённости лишь случай х (при х рассуждения проводятся аналогично). Пусть график функции f имеет асимптоту y = kx + l при х . Тогда, по определению,

f (x) = kx + l + 0

Разделим обе части равенства f (x) = kx + l + 0 на х и перейдём к пределу при х . Тогда

lim = k.

х

Используя найденное значение k, получим из f (x) = kx + l + 0 для определения l формулу

l = lim (f (x) kx).

х

Справедливо и обратное утверждение: если существуют такие числа k и l, что выполняется условие l = lim (f (x) kx), то прямая y = kx + l является

х

асимптотой графика функции f (x). В самом деле, из l = lim (f (x) kx) имеем

х

lim f (x) (kx + l) = 0,

х

 

то есть прямая y = kx + l действительно удовлетворяет определению асимптоты, иначе говоря, выполняется условие f (x) = kx + l + 0. Таким образом, формулы lim = k. и l = lim (f (x) kx)

х х

сводят задачу отыскания асимптот y = kx + l к вычислению пределов определённого вида. Более того, мы показали, что если существует

 

 

представление функции f в виде f (x) = kx + l + 0, то k и l выражаются по формулам lim = k. и l = lim (f (x) kx)

х х

Следовательно, если существует представление y = kx + l, то оно единственно.

Найдём по этому правилу асимптоту графика функции f (x) = ,

найденную нами выше другим способом:

 

7

 

 

то есть мы, как и следовало ожидать, получили тоже уравнение асимптоты

y = x 4, как при х , так и при х - .

В виде y = kx + l может быть записано уравнение любой прямой, непараллельной оси Oy. Естественно распространить определение асимптоты и на прямые, параллельные оси Oy.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Похожие работы

1 2 >