Примеры разностных аппроксимаций

Для уравнения (9) неравенство |q| 1 выполняется согласно (11) при всех тогда и только тогда, когда

Примеры разностных аппроксимаций

Информация

Математика и статистика

Другие материалы по предмету

Математика и статистика

Сдать работу со 100% гаранией
адачи (1) (3). Получим первые члены разложения функции in по степеням h и . Будем разлагать все функции, входящие в выражение для in, по формуле Тейлора в точке (xi, tn + 0,5). Учитывая разложения

 

 

где

 

 

получим

 

 

 

 

Отсюда, проводя разложение в точке (xi, tn+1/2) и обозначая u = u (xi, tn+1/2), будем иметь

 

 

 

 

и, перегруппировывая слагаемые, получим, что

 

 

 

Учитывая уравнение (1) u u = f и следствие из него uIV u = f, окончательно можно записать, что

 

(18)

 

Из формулы (18) можно сделать следующие выводы. Если

 

 

то схема (15) имеет второй порядок аппроксимации по и четвертый по h. Такая схема называется схемой повышенного порядка аппроксимации. Если

 

 

то схема (15) имеет второй порядок аппроксимации по и по h. При остальных значениях и при in 0 в виде (10), то получим

 

 

 

и |q| 1 при всех , если

 

(19)

 

Отсюда видно, в частности, что все схемы с 0,5 абсолютно устойчивы. Схема повышенного порядка аппроксимации ( = *) также абсолютно устойчива, что проверяется непосредственно.

При 0 разностная схема (15) является неявной схемой. Для нахождения решения yin+1 по заданным yin требуется решать систему уравнений

 

(20)

 

где

 

 

Система (20) решается методом прогонки. Условия устойчивости прогонки при 0 сводятся к неравенству

 

|1 + 2| 2 ||

 

и выполнены при 1/(4). Последнее неравенство следует из условия устойчивости (19) разностной схемы.

 

3.4. Уравнения с переменными коэффициентами и линейные уравнения. Рассмотрим первую краевую задачу для уравнения теплопроводности с переменными коэффициентами

 

(21)

 

 

где (x, t), k(x, t), f(x, t) достаточно гладкие функции, удовлетворяющие условиям

 

0 < c1 k(x, t) c2, (x, t) c3 > 0.(22)

 

Дифференциальное выражениепри каждом

фиксированном t аппроксимируем в точке (xi, t) так же, как и в стационарном случае, разностным отношением

 

(23)

 

где разностный коэффициент теплопроводности a(xi, t) должен удовлетворять условиям второго порядка аппроксимации

 

 

 

 

Наиболее употребительны следующие выражения для a(xi, t):

 

 

 

 

 

Разностная схема с весами для задачи (21) имеет вид

 

(24)

 

 

Здесь в качестве t можно взять любое значение t [tn, tn+1], например t = tn + 0,5. Если в уравнении (24) t = tn + 0,5, = 0,5, то схема (24) имеет второй порядок аппроксимации по и по h. При остальных значениях и t выполняется первый порядок аппроксимации по и второй по h.

При исследовании устойчивости разностных схем с переменными коэффициентами иногда применяется принцип замороженных коэффициентов, сводящий задачу к уравнению с постоянными коэффициентами. Рассмотрим явную схему, соответствующую уравнению (24) с = 0 и f(xi, t) 0, т.е. схему

 

(25)

 

Предположим, что коэффициенты (xi, t), a(xi, t) постоянные, (xi, t) = const, a(xi, t) a = const. Тогда уравнение (25) можно записать в виде

 

 

или

 

 

Из п.2 известно, что последнее уравнение устойчиво при 0,5h2, т.е. при

 

(26)

Принцип замороженных коэффициентов утверждает, что схема (25) устойчива, если условие (26) выполнено при всех допустимых значениях a(xi, t), (xi, t), т.е. если при всех x, t выполнены неравенства

 

(27)

 

Если известно, что 0 < c1 a(xi, t) c2, (xi, t) c3 > 0, то неравенство (27) будет выполнено при

 

 

 

Строгое обоснование устойчивости схемы (25) будет дано в примере 2 из главы 2.

Если параметр 0,5, то из принципа замороженных коэффициентов следует абсолютная устойчивость схемы (24).

Рассмотрим теперь первую краевую задачу для нелинейного уравнения теплопроводности

 

(28)

 

В случае нелинейных уравнений, когда заранее неизвестны пределы изменения функции k(u), избегают пользоваться явными схемами. Чисто неявная схема, линейная относительно yin+2, i = 1, 2,…, N 1, имеет вид

 

(29)

 

где ai = 0,5 (k(yni) + k(yni-1)). Эта схема абсолютно устойчива, имеет первый порядок аппроксимации по и второй по h. Решение yin+1, i = 1, 2,…, N 1, находится методом прогонки. Заметим, что схему (29) можно записать в виде

 

 

 

где ki = k(yin).

Часто используется нелинейная схема

 

 

(30)

 

 

Для реализации этой схемы необходимо применить тот или иной итерационный метод. Например такой:

 

(31)

 

 

Здесь s номер итерации. Как видим, нелинейные коэффициенты берутся с предыдущей итерации, а в качестве начального приближения для yin+1 выбирается yin. Это начальное приближение тем лучше, чем меньше шаг . Число итераций M задается из соображений точности. В задачах с гладкими коэффициентами при k(u) c1 > 0 часто бывает достаточно провести две три итерации. Значения yi(S+1) на новой итерации находятся из системы (31) методом прогонки. При M = 1 итерационный метод (31) совпадает с разностной схемой (29).

Для приближенного решения нелинейного уравнения (28) применяются также схемы предиктор корректор второго порядка точности, аналогичные методу Рунге Кутта для обыкновенных дифференциальных уравнений. Здесь переход со слоя n на слой n+1 осуществляется в два этапа. Приведем пример такой схемы. На первом этапе решается неявная линейная система уравнений

 

 

 

 

из которой находятся промежуточные значения yin+1/2, i = 0, 1,…, N. Затем на втором этапе используется симметричная шеститочечная схема для уравнения (28), в которой нелинейные коэффициенты a(y), f(y) вычисляются при y = yin+1/2, т.е. схема

 

 

 

 

Похожие работы

<< < 1 2 3 4