Представление коэффициентов разностной схемы в виде интегралов (4), (6) оказывается полезным при исследовании сходимости в случае разрывных функций k(x), q(x), f(x).
2.3. Уравнение для погрешности. Решение yi = y(xi) разностной задачи (3), (4) зависит от шага h сетки, y(xi) = yh(xi). По существу, мы имеем семейство решений {yh(xi)}, зависящее от параметра h. Говорят, что решение yh(x) разностной задачи сходится к решению u(x) исходной дифференциальной задачи, если при h0 погрешность yh(xi) u(xi), i = 0, 1,…, N, стремится к нулю в некоторой норме. В настоящем параграфе в качестве такой нормы будем брать норму в сеточном пространстве C(h), т.е. положим
Говорят, что разностная схема имеет m-й порядок точности (или сходится с порядком m), если
где m>0, M>0 константы, не зависящие от h.
Выше было установлено, что схема (3), (4) имеет второй порядок аппроксимации. Докажем теперь, что эта схема имеет и второй порядок точности. Для этого прежде всего выпишем уравнение, которому удовлетворяет погрешность zi = yi u(xi). Поставим yi = zi + u(xi) в уравнения (3), (4). Тогда получим уравнения
(11)
(12)
где обозначено
Функция i, входящая в правую часть уравнения (11), называется погрешностью аппроксимации дифференциального уравнения (1) разностным уравнением (3) на решении задачи (1), (2). В п.1 было доказано, что i = O(h2) при h0, i=1, 2,…, N1. Аналогично, величина 1 является по определению погрешностью аппроксимации краевого условия (2) разностным краевым условием (4) на решении задачи (1), (2), причем 1=O(h2). Таким образом, структура уравнений для погрешности (11), (12) та же, что и у разностной схемы (3), (4), отличаются только правые части.
Чтобы доказать сходимость разностной схемы, оценим решение задачи (11), (12) через правые части i, 1, т.е. получим неравенство вида
(13)
с константой M1, не зависящей от h. Из этого неравенства и будет следовать, что
Отметим, что неравенства вида (13), называемые априорными оценками, нашли широкое применение в теории разностных схем. Поскольку структура для погрешности (11), (12) та же, что и у разностной схемы (3), (4), а отличаются только правые части, то оценка (13) выполняется одновременно с аналогичной оценкой
для разностной схемы (3), (4) при 2 = 0. Последняя оценка выражает устойчивость решения разностной задачи по правым частям и 1.
2.4. Разностные тождества и неравенства. Для того, чтобы доказать неравенство (13), нам потребуются некоторые разностные тождества и неравенства. Будем рассматривать сеточные функции, заданные на сетке (7). Обозначим
Справедливо следующее разностное утверждение:
(y, x) = (, yx) + yNN y01.(14)
Действительно,
что и требовалось доказать. Тождество (14) называется формулой суммирования по частям.
Подставляя в (14) вместо выражение azx и вместо y функцию z, получаем первую разностную формулу Грина
(15)
ЗдесьВ частности, если zN = 0 (как в задаче (11), (12)), то получим
(16)
Обозначим
и докажем, что для любой сеточной функции zi, удовлетворяющей условию zN = 0, справедливо неравенство
(17)
Для доказательства воспользуемся тождеством
и применим неравенство Коши-Буняковского
Тогда получим
Откуда сразу следует неравенство (17).
2.5. Доказательство сходимости. Возвращаясь к доказательству сходимости схемы (3), (4), получим тождество, которому удовлетворяет погрешность zi = yi u(xi). Для этого умножим уравнение (11) на hzi и просуммируем по i от 1 до N1. Тогда получим
Отсюда, применяя разностную формулу Грина (16), получим
Далее, согласно (12) имеем
следовательно, справедливо тождество
(18)
Из этого тождества и будет сейчас выведено требуемое неравенство вида (13).
Заметим прежде всего, что если
k(x) c1 > 0, 0, q(x) 0,
то коэффициенты разностной схемы (3), (4) удовлетворяют неравенствам
ai c1 > 0, 0, di 0.(19)
Это утверждение сразу следует из явного представления коэффициентов (5), (6).
Воспользовавшись (19), оценим слагаемые, входящие в левую часть тождества (18), следующим образом:
Тогда придем к неравенству
(20)
Оценим сверху правую часть этого неравенства. Будем иметь
Подставляя эту оценку в (20) и учитывая неравенство (17), получим
т.е.
Окончательно
(21)
Посколькуиз неравенства следует,
что погрешность zi = yi u(xi) также является величиной O(h2) при h0. Итак, справедливо следующее утверждение.
Пусть k(x) непрерывно дифференцируемая и q(x), f(x) непрерывные функции при x[0, l], решение u(x) задачи (1), (2) обладает непрерывными четвертыми производными. Пусть коэффициенты разностной схемы (3), (4) удовлетворяют условиям (8), (9), (19). Тогда решение разностной задачи (3), (4) сходится при h0 к решению исходной дифференциальной задачи (1), (2) со вторым порядком по h, так что выполняется оценка
где M постоянная, не зависящая от h.
3. Разностные схемы для уравнения теплопроводности
3.1. Исходная задача. Будем рассматривать следующую первую краевую задачу для уравнения теплопроводности с постоянными коэффициентами. В области {0 < x < 1, 0 < t T} требуется найти решение уравнения
(1)
удовлетворяющее начальному условию
u(x, 0) = u0(x)(2)
и граничным условиям
u(0, t) = 1(t), u(1, t) = 2(t).(3)
Здесь u0(x), 1(t), 2(t) заданные функции. Известно, что при определенных предположениях гладкости решение задачи (1)(3) существует и единственно. В дальнейшем при исследовании аппроксимации разностных схем будем предполагать, что решение u(x, t) обладает необходимым по ходу изложения числом производных по x и по t. Решение задачи (1) (3) удовлетворяет принципу максимума и тем самым непрерывно зависит от начальных и граничных данных.
3.2. Явная схема. Как всегда, для построения разностной схемы надо прежде всего ввести сетку в области изменения независимых переменных и задать шаблон, т.е. множество точек сетки, участвующих в аппроксимации дифференциального выражения. Введем сетку по переменному x такую же, как в предыдущей главе, т.е.
h = {xi = ih, i = 0, 1,…, N, hN = 1}
и сетку по переменному t с шагом , которую обозначим
= {tn = n, n = 0, 1,…, K, K = T}
Точки (xi, tn), i = 0, 1,…, N, n = 0, 1,…, K, образуют узлы пространственно-временной сетки h, = h x . Узлы (xi, tn), принадлежащие отрезкам I0 = {0 x 1, t = 0}, I1 = {x = 0, 0 t T}, I2 = {x = 1, 0 t T}, называются граничными узлами сетки h, , а остальные узлы внутренними. На рисунке граничные узлы обозначены крестиками, а внутренние кружочками.
Слоем называется множество всех узлов сетки h, , имеющих одну и ту же временную координату. Так, n-м слоем называется множество узлов
(x0, tn), (x1, tn),…, (xN, tn).
Для функции y(x, t), определенной на сетке h, , введем обозначения yni = y(xi, tn),
(4)
