Примеры разностных аппроксимаций

Для уравнения (9) неравенство |q| 1 выполняется согласно (11) при всех тогда и только тогда, когда

Примеры разностных аппроксимаций

Информация

Математика и статистика

Другие материалы по предмету

Математика и статистика

Сдать работу со 100% гаранией
Применяя формулу трапеций, получим

 

 

 

Представление коэффициентов разностной схемы в виде интегралов (4), (6) оказывается полезным при исследовании сходимости в случае разрывных функций k(x), q(x), f(x).

 

2.3. Уравнение для погрешности. Решение yi = y(xi) разностной задачи (3), (4) зависит от шага h сетки, y(xi) = yh(xi). По существу, мы имеем семейство решений {yh(xi)}, зависящее от параметра h. Говорят, что решение yh(x) разностной задачи сходится к решению u(x) исходной дифференциальной задачи, если при h0 погрешность yh(xi) u(xi), i = 0, 1,…, N, стремится к нулю в некоторой норме. В настоящем параграфе в качестве такой нормы будем брать норму в сеточном пространстве C(h), т.е. положим

 

 

Говорят, что разностная схема имеет m-й порядок точности (или сходится с порядком m), если

 

 

где m>0, M>0 константы, не зависящие от h.

Выше было установлено, что схема (3), (4) имеет второй порядок аппроксимации. Докажем теперь, что эта схема имеет и второй порядок точности. Для этого прежде всего выпишем уравнение, которому удовлетворяет погрешность zi = yi u(xi). Поставим yi = zi + u(xi) в уравнения (3), (4). Тогда получим уравнения

 

(11)

(12)

 

где обозначено

 

 

 

Функция i, входящая в правую часть уравнения (11), называется погрешностью аппроксимации дифференциального уравнения (1) разностным уравнением (3) на решении задачи (1), (2). В п.1 было доказано, что i = O(h2) при h0, i=1, 2,…, N1. Аналогично, величина 1 является по определению погрешностью аппроксимации краевого условия (2) разностным краевым условием (4) на решении задачи (1), (2), причем 1=O(h2). Таким образом, структура уравнений для погрешности (11), (12) та же, что и у разностной схемы (3), (4), отличаются только правые части.

Чтобы доказать сходимость разностной схемы, оценим решение задачи (11), (12) через правые части i, 1, т.е. получим неравенство вида

 

(13)

 

с константой M1, не зависящей от h. Из этого неравенства и будет следовать, что

 

 

Отметим, что неравенства вида (13), называемые априорными оценками, нашли широкое применение в теории разностных схем. Поскольку структура для погрешности (11), (12) та же, что и у разностной схемы (3), (4), а отличаются только правые части, то оценка (13) выполняется одновременно с аналогичной оценкой

 

 

 

для разностной схемы (3), (4) при 2 = 0. Последняя оценка выражает устойчивость решения разностной задачи по правым частям и 1.

 

2.4. Разностные тождества и неравенства. Для того, чтобы доказать неравенство (13), нам потребуются некоторые разностные тождества и неравенства. Будем рассматривать сеточные функции, заданные на сетке (7). Обозначим

 

 

 

 

Справедливо следующее разностное утверждение:

 

(y, x) = (, yx) + yNN y01.(14)

 

Действительно,

 

 

 

 

 

 

 

что и требовалось доказать. Тождество (14) называется формулой суммирования по частям.

Подставляя в (14) вместо выражение azx и вместо y функцию z, получаем первую разностную формулу Грина

 

(15)

 

ЗдесьВ частности, если zN = 0 (как в задаче (11), (12)), то получим

(16)

 

Обозначим

 

 

 

и докажем, что для любой сеточной функции zi, удовлетворяющей условию zN = 0, справедливо неравенство

 

(17)

 

Для доказательства воспользуемся тождеством

 

 

 

и применим неравенство Коши-Буняковского

 

 

 

Тогда получим

 

 

 

Откуда сразу следует неравенство (17).

 

2.5. Доказательство сходимости. Возвращаясь к доказательству сходимости схемы (3), (4), получим тождество, которому удовлетворяет погрешность zi = yi u(xi). Для этого умножим уравнение (11) на hzi и просуммируем по i от 1 до N1. Тогда получим

 

 

Отсюда, применяя разностную формулу Грина (16), получим

 

 

Далее, согласно (12) имеем

 

 

следовательно, справедливо тождество

 

(18)

 

Из этого тождества и будет сейчас выведено требуемое неравенство вида (13).

Заметим прежде всего, что если

 

k(x) c1 > 0, 0, q(x) 0,

 

то коэффициенты разностной схемы (3), (4) удовлетворяют неравенствам

 

ai c1 > 0, 0, di 0.(19)

 

Это утверждение сразу следует из явного представления коэффициентов (5), (6).

Воспользовавшись (19), оценим слагаемые, входящие в левую часть тождества (18), следующим образом:

 

 

 

 

Тогда придем к неравенству

 

(20)

 

Оценим сверху правую часть этого неравенства. Будем иметь

 

 

 

 

Подставляя эту оценку в (20) и учитывая неравенство (17), получим

 

 

т.е.

 

 

 

Окончательно

 

(21)

 

Посколькуиз неравенства следует,

что погрешность zi = yi u(xi) также является величиной O(h2) при h0. Итак, справедливо следующее утверждение.

Пусть k(x) непрерывно дифференцируемая и q(x), f(x) непрерывные функции при x[0, l], решение u(x) задачи (1), (2) обладает непрерывными четвертыми производными. Пусть коэффициенты разностной схемы (3), (4) удовлетворяют условиям (8), (9), (19). Тогда решение разностной задачи (3), (4) сходится при h0 к решению исходной дифференциальной задачи (1), (2) со вторым порядком по h, так что выполняется оценка

 

 

где M постоянная, не зависящая от h.

3. Разностные схемы для уравнения теплопроводности

 

3.1. Исходная задача. Будем рассматривать следующую первую краевую задачу для уравнения теплопроводности с постоянными коэффициентами. В области {0 < x < 1, 0 < t T} требуется найти решение уравнения

 

(1)

 

удовлетворяющее начальному условию

 

u(x, 0) = u0(x)(2)

 

и граничным условиям

 

u(0, t) = 1(t), u(1, t) = 2(t).(3)

 

Здесь u0(x), 1(t), 2(t) заданные функции. Известно, что при определенных предположениях гладкости решение задачи (1)(3) существует и единственно. В дальнейшем при исследовании аппроксимации разностных схем будем предполагать, что решение u(x, t) обладает необходимым по ходу изложения числом производных по x и по t. Решение задачи (1) (3) удовлетворяет принципу максимума и тем самым непрерывно зависит от начальных и граничных данных.

 

3.2. Явная схема. Как всегда, для построения разностной схемы надо прежде всего ввести сетку в области изменения независимых переменных и задать шаблон, т.е. множество точек сетки, участвующих в аппроксимации дифференциального выражения. Введем сетку по переменному x такую же, как в предыдущей главе, т.е.

 

h = {xi = ih, i = 0, 1,…, N, hN = 1}

 

и сетку по переменному t с шагом , которую обозначим

 

= {tn = n, n = 0, 1,…, K, K = T}

 

Точки (xi, tn), i = 0, 1,…, N, n = 0, 1,…, K, образуют узлы пространственно-временной сетки h, = h x . Узлы (xi, tn), принадлежащие отрезкам I0 = {0 x 1, t = 0}, I1 = {x = 0, 0 t T}, I2 = {x = 1, 0 t T}, называются граничными узлами сетки h, , а остальные узлы внутренними. На рисунке граничные узлы обозначены крестиками, а внутренние кружочками.

Слоем называется множество всех узлов сетки h, , имеющих одну и ту же временную координату. Так, n-м слоем называется множество узлов

 

(x0, tn), (x1, tn),…, (xN, tn).

 

Для функции y(x, t), определенной на сетке h, , введем обозначения yni = y(xi, tn),

 

(4)

 

Похожие работы

< 1 2 3 4 > >>