Аналогія: теорема Піфагора на площині і в просторі

Піфагор Самосський (бл. 580-500 р.р. до н. е.) - давньогрецький математик і філософ. Народився на острові Самос в багатій купецькій

Аналогія: теорема Піфагора на площині і в просторі

Дипломная работа

Математика и статистика

Другие дипломы по предмету

Математика и статистика

Сдать работу со 100% гаранией

Зміст

 

Вступ

Розділ 1. Теорема Піфагора на площині

1.1Різні доведення теореми Піфагора

1.2Теорема Піфагора та цілочислові прямокутні трикутники

1.3Історичні відомості

1.4Розвязування задач

Задача 1

Задача 2

Задача 3

Задача 4

Задача 5

Розділ 2. Теорема Піфагора у просторі або стереометричний аналог теореми Піфагора

.1 Теорема(стереометричний аналог теореми Піфагора)

Доведення 1

Доведення 2

Доведення 3

Доведення 4

Доведення 5

Доведення 6

Доведення 7

Доведення 8

Доведення 9

Висновок

Література

 

 

Вступ

 

Математик - це той , хто вміє знаходити аналогії між твердженнями; кращий математик той, хто встановлює аналогії доведень; більш сильний математик той, хто помічає аналогії теорій; але можна уявити собі й такого, хто між аналогіями бачить аналогії. (Стефан Банах)

 

Аналогія є таким умовидом, при якому, встановивши схожість будови обєктів у деяких властивостях, припускають , що вони, можливо, схожі і в інших властивостях.

Відомо, що в процесі розвитку науки висновки за аналогією відіграють велику роль. Аналогія, як важлива форма мислення завжди привертала до себе увагу і була предметом дослідження видатних вчених, мислителів. Чудові зразки міркувань за аналогією дали такі відомі природодослідники, як Леонардо да Вінчі, Й. Кеплер, Г. Галілей, М.В. Ломоносов, Ч. Дарвін, Д.І. Менделєєв, К. Максвелл, А. Ейнштейн та інші. За допомогою аналогії вони обґрунтували ряд найважливіших наукових відкриттів.

Серед цінностей інтелекту «вищого порядку», що являють собою найважливішу частину математичної освіти, одне з пріоритетних місць, ймовірно, займає вміння знаходити і застосовувати аналогії. Про цей метод поетично і захоплено говорив Стефан Банах: «Математик - це той, хто вміє знаходити аналогії між твердженнями; кращий математик той, хто встановлює аналогії доведень; більш сильний математик той, хто помічає аналогії теорій; але можна уявити собі й такого, хто між аналогіями бачить аналогії. »

Але більш багатогранно аналогія виявляється у творчій діяльності людини. Велике значення має аналогія для творчого мислення.

Аналогія застосовується в учнівському пізнанні

П.М. Єрднієв вважає, що володіння ум овидом за аналогією «сприяє як творчості вченого - математика, так і успішному навчанню цієї науки або самостійному вивченню її».

Роль аналогії значно зростає в сучасних умовах навчання, коли перед школою стоїть завдання озброювати учнів не лише знаннями, а й методами самостійного здобуття знань.

Звернемо увагу на основні дидактичні функції аналогії. По-перше, аналогія сприяє більш глибокому осмисленню матеріалу, що вивчається. При цьому застосовується ті види аналогії, які конкретизують образи і уявлення. По-друге, аналогія при вивченні нового матеріалу допомагає підводити учнів до визначення нових для них понять, самостійних пошуків способу розвязання задачі, ефективної організації повторення, узагальнення і систематизації матеріалу.

Вбачаючи в аналогії великі дидактичні можливості, вчені радять користуватись нею і вчителю, і учням. Проте слід памятати, що висновки в умовиводах за аналогією не дає відповіді на питання про правильність припущення, ця правильність повинна перевірятись іншими засобами. Та аналогія важлива вже тим,що вона наводить на здогади, подає думку про те чи інше припущення. Це дуже важливо як у розвитку науки, так і в вивченні математики.

Звідси випливає актуальність вибраної теми.

Об'єкт дослідження - теорема Піфагора на площині і в просторі;

Предмет дослідження - аналогія між теоремою Піфагора на площині і в просторі;

Мета дослідження - розглянути в чому полягає аналогія між теоремою Піфагора на площині і в просторі.

Для реалізації поставленої мети необхідно розв'язати наступні завдання:

- підібрати, опрацювати та систематизувати літературні джерела з обраної теми;

- підібрати, класифікувати та зібрати задачі про теорему Піфагора на площині і в просторі (на доведення та обчислення).

Курсова робота складається зі вступу, двох розділів,висновку,списку використаної літератури, що містить 3 найменування.

У вступі визначається об'єкт, предмет,мета та завдання дослідження, обґрунтовується актуальність обраної теми,описана структура курсової роботи.

В наступних розділах йде огляд і доведення аналогії між трикутником та тетраедром. У висновку підведено підсумок про виконану роботу.

 

 

Розділ 1. Теорема Піфагора на площині

 

Теорема Піфагора. У прямокутному трикутнику квадрат довжини гіпотенузи дорівнює сумі квадратів довжини катетів.

Дано: ΔАВС, С = 90°, ВС = а, АС = b, АВ = с.

Довести: с2 = а2 + b2

 

1.1Різні доведення теореми Піфагора

 

Доведення 1. На гіпотенузі і катетах побудуємо квадрати і виконаємо додаткові побудови, які видно на рисунку 1. Тоді NAB = 90° + САВ,

САЕ =90° + САВ. Отже, NАВ = САЕ. Крім цього, NА = СА, АВ = АЕ.

Таким чином, за першою ознакою рівності трикутників маємо: ΔNAB = ΔCAE. Але SΔNAB = NA·NK = SΔANRC, SΔCAE = AE·EH = SAEHR. Порівнюючи останні три рівності, дістанемо: SANKC = SAEHR. ( 1 ) Аналогічно, ABE = 90° + ABC, CBD = 90° + ABC. Звідси ABF = CBD. Крім того, AB - DB, CB - FB. Тоді за першою ознакою рівності трикутників ΔABF = ΔDBC. Але SΔABF = BF·QF = SBCQF, SΔDBC = BD·HD = SHRBD. З цих рівностей одержимо: SBCQA = SHRBD. ( 2 ) Додамо почленно рівності (1) і (2):

SANKC + SBCQF = SAEHR + SHRBD, але SAEHR + SHRBD = SAEDB.

Таким чином, SANKC + SAEDB або b2 + a2 = c2

 

Рис. 1

Рис. 2

 

Доведення 2

Побудуємо ΔBDE = ΔACB так, щоб B CD ( рис 2).

Тоді чотирикутник ACDE - трапеція, бо AC || DE як два перпендикуляри до CD. Маємо:

 

SACDE = ·CD = ·2 (1)

 

Крім того, SACDE = SΔABE + 2SΔABC. Трикутник ABE рівнобедрений і прямокутний. Дійсно, якщо позначимо АВС = BED = , тоді в прямокутному трикутнику BDE DBE = 90° - . За побудовою CBD = 90°.Таким чином, ABE = 180° - °, SΔABC=, SΔABC= .

 

Тоді SACDE= ( 2 )

 

Порівнюючи рівності ( 1 ) і ( 2 ), дістанемо:

 

 

Доведення 3. Побудуємо CD AB ( рис.3 ).

Нехай CAB = BCD = . Тоді SΔABC = sin. Оскільки ,

SΔABC = ( 1 )

 

Аналогічно: SΔACD = ( 2 )

 

SΔBCD = ( 3 )

 

За побудовою SΔABC = SΔACD + SΔBCD. ( 4 )

З рівностей ( 1 ), ( 2 ), ( 3 ), ( 4 ) випливає:

 

 

тобто

 

Рис.3 Рис.4

 

Доведення 4. Впишемо в трикутник АВС коло ( О, r ) ( Рис.4 ). Тоді:

 

SΔABC = SΔOAC + SΔOAB =

 

Чотирикутник OKCL - квадрат з стороною r. За властивістю дотичних, проведених з точок А та В до кола, маємо: AH = AK = , BH = BL = .

Тоді

AB = AH + HB =

 

З іншого боку

 

SΔABC = .

 

Таким чином,

 

 

Доведення 5

 

Виконуємо побудови, які показано на рисунку 5 а), 5 б).

 

Рис.5,а

 

Рис.5,б

CDMN, TQRE - квадрати зі стороною . Тоді SCDMN = STQRE.

За побудовою маємо:

 

SCDMN = SABLK + 4SΔABC,

STQRE = SPQBC + SACFE + 4SΔABC.

 

Порівнюючи ці рівності, дістанемо:

 

SABLK + 4SΔABC = SPQBC + SACFE + 4SΔABC , або

SABLK = SPQBC + SACFE, тобто

 

Доведення 6

Побудуємо квадрат CDMN з стороною a+b ( Рис.6)

 

 

Рис. 6

 

Тоді ΔАСВ = ΔBDK = ΔKLM = ΔLNA ( за двома катетами ) , звідки

 

AB = BK = KL = LA = c.

 

Отже, чотирикутник ABKL - ромб.

Оскільки АВК = 90°, то ABKL - квадрат. Маємо:

 

Порівнюючи останні рівності, дістанемо:

 

 

Доведення 7

На сторонах прямокутного трикутника АВС побудуємо квадрати АВКМ, АDЕС, ВСFR. (Pис. 7). Трикутники ЕСF, КLМ і АСВ рівні між собою. АDRВ = EDRF як симетричні відносно прямої DR фігури; ACLM = КLСВ як центрально-симетричні фігури відносно центра квадрата АВКМ; АDRB=АСLМ як відповідні фігури при повороті навколо центра А на кут 90°.

Враховуючи одержані три рівності, маємо:

 

ADEFRB = ACBKLM, але

SADEFRB = SADEC + 2SΔABC + SBCFR, SACBKLM = SABKM + 2SΔABC.

Отже, SADEC + SBCFR = SABKM , тобто

 

Рис.7

 

Рис.8

Доведення 8

Прямокутний трикутник АСВ з прямим кутом С повернемо навколо точки С на 90° так, щоб він зайняв положення А´СВ´ ( Рис. 8 ). Продовжимо гіпотенузу А´В´ до перетину з АВ у точці D. Відрізок В´D буде висотою трикутника В´АВ.

Розглянемо тепер чотирикутник А´АВ´В. Його можна розкласти на два рівнобедрені трикутники СА´А і СВ´В. Маємо:

 

ЫΔСФ´Ф = б ЫΔСИ´И= ю

 

Таким чином

 

ЫФ´ФИ´И= ЫΔСФ´Ф + ЫΔСИ´И=ю

 

Трикутники АА&

Похожие работы

1 2 3 4 > >>