Преобразование Фурье и его некоторые приложения

Если для преобразователя выполняются указанные выше условия, то говорят, что для преобразователя выполняется принцип суперпозиции. Дополнительно предполагаем, что функция

Преобразование Фурье и его некоторые приложения

Курсовой проект

Математика и статистика

Другие курсовые по предмету

Математика и статистика

Сдать работу со 100% гаранией

Содержание

 

Введение

Интеграл Фурье в комплексной форме. Формулировка теоремы о сходимости интеграла Фурье для кусочно-гладких и абсолютно интегрируемых на числовой прямой функции

Преобразование Фурье

Примеры нахождения преобразования Фурье

Некоторые свойства преобразования Фурье

Сверстка и преобразование Фурье

Спектр

Некоторые приложения

Литература

Введение

 

Преобразование Фурье вычисляется всякий раз, когда мы слышим звук. Ухо автоматически выполняет вычисление, проделать которое наш сознательный ум способен лишь после нескольких лет обучения математике. Наш орган слуха строит преобразование, представляя звук как колебательное движение частиц упругой среды, распространяющееся в виде волн в газообразной, жидкой или твёрдых средах - в виде спектра последовательных значений громкости для тонов различной высоты. Мозг превращает эту информацию в воспринимаемый звук.

Аналогичные операции можно производить с помощью математических методов над звуковыми волнами или практически над любыми другими колебательными процессами - от световых волн и океанских приливов до циклов солнечной активности. Пользуясь этими математическими приёмами, можно раскладывать функции, представляя колебательные процессы в виде набора синусоидальных составляющих - волнообразных кривых, переходящих от максимума к минимуму, затем опять к максимуму, подобно океанской волне.

Преобразование Фурье стало мощным инструментом, применяемым в различных научных областях. В некоторых случаях его можно использовать как средство решения сложных уравнений, описывающих динамические процессы, которые возникают под воздействием электрической, тепловой или световой энергии. В других случаях оно позволяет выделять регулярные составляющие в сложном колебательном сигнале, благодаря чему можно правильно интерпретировать экспериментальные наблюдения в астрономии, медицине и химии.

Первым человеком, поведавшим миру об этом методе, был французский математик Жан Батист Жозеф Фурье, именем которого и было названо преобразование. В 1789 году он вывел уравнение, описывающее распространение тепла в твёрдом теле. К 1807 году Фурье изобрёл и метод решения этого уравнения: преобразование Фурье.

Преобразование Фурье используется во многих областях науки - в физике, теории чисел, комбинаторике, теории вероятностей, статистике, акустике, океанологии, оптике, геометрии, и многих других.

Благодаря широкому применению метода Фурье и сходных с ним аналитических методов мы и сегодня можем повторить с полным основанием то, что лорд Кельвин сказал в 1867 году: "Теорема Фурье не только является одним из самых изящных результатов современного анализа, но и дает нам незаменимый инструмент в исследовании самых трудных вопросов современной физики".

Интеграл Фурье в комплексной форме. Формулировка теоремы о сходимости интеграла Фурье для кусочно-гладких и абсолютно интегрируемых на числовой прямой функции

 

Интеграл Фурье в комплексной форме. Формулировка теоремы о сходимости интеграла Фурье для кусочно-гладких и абсолютно интегрируемых на числовой прямой функции

 

(1)

 

интегральная формула Фурье.

Вначале введем понятие главного значения интеграла. Пусть функция интегрируема на любом отрезке числовой прямой.

Определение 1.1. Если существует конечный предел

 

, ,(1.1)

 

то этот предел называется главным значением интеграла и обозначается: v.p. (главное значение - по французки valeur principale)

 

(1.2)

 

Замечание 1.1. Определение 3.1 есть частный случай определения несобственного интеграла

, (1.3)

 

если .

Если существует несобственный интеграл (1.3), то и существует для этой функции и главное значение интеграла (1.2) и оно совпадает с указанным несобственным интегралом. Обратное утверждение в общем случае неверно, например:

 

,

 

но несобственный интеграл расходится (обосновать).

Преобразуем интегральную формулу Фурье (1)

 

,(1.4)

(1.5)

.(1.6)

 

Замечание 1.2. В дальнейшем формулы будем записывать, понимая несобственные интегралы в смысле главного значения интеграла, не помечая это символами v.p. в отдельных случаях.

Если функция - четная, то интегральная формула Фурье будет иметь вид правой части (1.4), где ; если же функция - нечетная, то в правой части (1.4) будет .

Дальше заметим, что

 

.(1.7)

 

Сложив (1.7) с интегральной формулой Фурье (1), получим интегральную формулу Фурье в комплексной форме

 

. (1.8)

 

Преобразование Фурье

 

Запишем правую часть формулы (2.8) в виде

 

.(2.1)

 

Положим:

 

.(2.2)

 

Определение 2.1. Функция называется преобразованием Фурье функции .

Замечание 2.1. Если функция , то для нее преобразование Фурье определено и в смысле обычного определения несобственного интеграла, так как .

Формулу

с учетом определения 2.1. можно записать следующим образом

 

.(2.3)

 

Эта формула называется формулой обращения, а функцию

 

.(2.4)

 

называют обратным преобразованием Фурье функции и обозначают .

Замечание 2.2. Преобразование Фурье и обратное преобразование Фурье определены на множестве функций, для которых соответственно интегралы (2.2) и (2.3) существуют в смысле главного значения.

 

Примеры нахождения преобразования Фурье

 

Пример 1.

.

Тогда преобразование Фурье примет следующий вид:

 

Ответ:

Пример 2.

 

=

Ответ:

Пример 3.

 

Некоторые свойства преобразования Фурье

 

Теорема 1.1. (свойство линейности преобразования и обратного преобразования Фурье)

Если и ( и ) и взяты (, ), то для функции ().

Справедливость заключения теоремы следует из свойства линейности для несобственного интеграла и формул (2.2) (2.4).

Пусть - любая последовательность функций из пространства , то есть для любой функции существует .

Определение 4.1. Последовательность в метрике пространства , если , где называется расстояние между элементами и пространства .

Теорема 2.1. Если последовательность сходится к функции в метрике указанного пространства, то соответствующая последовательность () преобразований Фурье сходится к преобразованию Фурье равномерно.

Воспользуемся следующим критерием равномерной сходимости функциональной последовательности: последовательность () равномерно сходится к функции тогда и только тогда, когда (, ).

Оценим сверху и снизу .

интеграл фурье теорема спектр

.(4.1)

Для множества модулей число есть верхняя граница по , а тогда для наименьшей из верхних границ, то есть для имеет оценку

 

.(4.2)

 

Далее воспользуемся аналогом теоремы о пределе промежуточной функции.

Если и , то и . ►

Теорема 2.2. (теорема Римана-Лебега) Если функция абсолютно интегрируема на числовой прямой, то ее преобразование Фурье есть непрерывная и ограниченная на числовой прямой функция, причем .

Вначале докажем ограниченность преобразования Фурье на числовой прямой.

 

,

 

где - норма функции в пространстве .

Дальше докажем остальные заключения теоремы. Доказательство разобьем на 3 этапа.

Пусть

В этом случае функция называется характеристической функцией интервала . Очевидно, что . Найдем преобразование Фурье функции.

Очевидно, что преобразование Фурье есть непрерывная функция на . Докажем, что непрерывность будет и в точке .

 

.

 

Утверждение доказано, то есть в рассматриваемом случае преобразование Фурье есть непрерывная функция на всей числовой прямой .

Покажем, что .

Вначале покажем, что функция является ограниченной даже на всей числовой прямой (нам же достаточно доказать ее ограниченность в некоторой окрестности точки )

 

.

 

А тогда (имеем произведение ограниченной функции на бесконечно малую при ). Утверждение доказано.

Пусть отрезок , , есть объединение конечного числа частичных отрезков без общих внутренних точек, то есть

 

 

и таких, что

 

(4.3)

 

Функция (4.3) в рассматриваемом случае называется ступенчатой функцией. Используя свойство линейности преобразования Фурье и доказанные утверждения в пункте 1), показывается, что преобразование Фурье функции (6.3) есть непрерывная функция на , имеющая пределы, равные нулю при .

Пусть - любая функция из класса , то есть любая суммируемая на числовой прямой функция. Можно доказать, что семейство ступенчатых функций плотно в пространстве , то есть существует последовательность ступенчатых функций, что

 

.(4.4)

 

А тогда последовательность преобразований Фурье сходится равномерно к преобразованию Фурье , причем члены последовательности непрерывны на .

Покажем, что .

Из равномерной сходимости последовательности к имеем, что:

 

.

Тогда

, .

 

По указанному .

О

Похожие работы

1 2 3 > >>