Содержание
Введение
§1. Характеры Дирихле и L-функции Дирихле
§2. Функция θ(x ,χ), её функциональное уравнение
§3. Аналитическое продолжение L-функции Дирихле на комплексную плоскость
§4. Функциональное уравнение для L-функции Дирихле. Тривиальные нули L-функции Дирихле
§5. Нетривиальные нули L-функции Дирихле
.1 Теорема Вейерштрасса о разложении в произведение целых функций
.2 О бесконечности целых нетривиальных нулей L-функции Дирихле 12
§6. Обобщенная гипотеза Римана
Библиографический список
Введение
Теория L-функций Дирихле развилась в одно из важнейших вспомогательных средств аналитической теории чисел. Большую роль в приложениях играет исследование нулей L-функций Дирихле.
В аналитической теории чисел L-функция Дирихле играет такую же роль, как и ζ-функция при решении задач теории чисел, а именно задач, связанных с распределением простых чисел в арифметических прогрессиях и в задачах, связанных с оценками арифметических сумм.
Предметом исследования данной курсовой работы является распределение значений L-функций Дирихле, результаты Гурвица о выводе функционального уравнения для L-функции Дирихле и как следствие, показать, что L-функции Дирихле в критической полосе имеют бесконечное число нулей. Эти функции ввел в 1837 г. Густав Дирихле при исследовании вопроса о распределении простых чисел в арифметических прогрессиях. Основные результаты были получены в 1922 году А. Гурвицем.
В данной курсовой работе изложение материала отражает основные свойства L-функций Дирихле и соответствует результатам, полеченным Гурвицем касающимся L-функций Дирихле.
В заключении данной работы приводится гипотеза о распределении нулей дзета-функции, сформулированная Бернхардом Риманом в 1859 году. Гипотеза Римана входит в список семи «проблем тысячелетия».
§1. Характеры Дирихле и L-функции Дирихле
Прежде всего определим характеры по модулю k, равному степени простого числа, и докажем их основные свойства. Характеры по произвольному модулю к определим затем через характеры по модулю, равному степени простого числа; при этом основные свойства последних сохранятся.
Пусть k=ра, где р> 2 - простое число, α≥1. Как известно, по модулю k существуют первообразные корни, и пусть g - наименьший из них. Через ind n будем обозначать индекс числа п, (п, к) = 1, по модулю k при основании g, т. е. число γ = γ(п) = ind n такое, что
(mod k).
Определение 1.1. Характером по модулю k= ра, р>2 - простое, α≥ 1, называется конечнозначная мультипликативная периодическая функция χ(n), областью определения которой является множество целых чисел п, и такая, что
где т - целое число.
Из определения характера видно, что функция зависит от параметра т, является периодической по т с периодом φ(k), т. е. существует, вообще говоря, φ(k) характеров по модулю k, которые получаются, если брать т равным 0, 1, ..., φ(k) - 1.
Пусть теперь k = 2α, α≥ 3. Как известно, для любого нечетного числа п существует система индексов γ0 = γ0(п) и γ1 = γ1(n) по модулю k, т. е. такие числа γ0 и γ1 , что
Таким образом, числа γ0 и γ1 определяются с точностью до слагаемых, кратных соответственно 2 и 2α-2.
Определение 1.2. Характером по модулю к = 2α, α≥1, называется функция областью определения которой является множество целых чисел п, определенная одной из следующих формул:
Где m0 , m1 целые числа.
Из определения 1.2. видно, что функция зависит от параметров т0 и m1является периодической по m0 и m1, с периодами соответственно 2 и 2α-2 т. е. существует, вообще говоря, φ(k), =< φ(kα) характеров по модулю k = 2α, которые получаются, если брать m0 , равным 0, 1, а m1 равным 0, 1, ..., 2α-2 - 1.
Ввиду того, что индекс числа или система индексов числа периодические с периодом, равным модулю функции, аддитивные, т. е. индекс произведения (соответственно система индексов произведения) равняется сумме индексов сомножителей (соответственно сумме систем индексов сомножителей), получаем следующие свойства характера χ (п):
1. по модулю k- периодическая с периодом k функция, т. е.
;
2. -мультипликативная функция, т. е.
Очевидно также, что
χ(1) = 1.
L-ряды Дирихле - функции комплексного переменного, подобные дзета-функции Римана, введены Дирихле при исследовании вопроса о распределении простых чисел в арифметических прогрессиях. Везде ниже под L-рядом будем понимать L-ряд Дирихле.
Пусть k - натуральное число и χ - какой-либо характер по модулю k.
Определение 1.3. L-функцией называется ряд Дирихле вида:
Ввиду того, что|χ(n)|≤1, следует аналитичность L(s, χ) в полуплоскости Re s>l. Для L(s, χ) имеет место аналог формулы Эйлера (эйлеровское произведение).
Лемма 1.1. При Re s > 1 справедливо равенство
Доказательство. При X > 1 рассмотрим функцию
Так как Re s > 1, то
следовательно,
(воспользовались мультипликативностью χ(n) и однозначностью разложения натуральных чисел на простые сомножители). Далее,
где σ=Re s>l. Переходя в (2) к пределу Х→+∞, получим утверждение леммы.
Из (1) находим
т. е. L(s, χ)≠0 при Re s>l. Если характер χ по модулю k является главным, то L(s, χ) лишь простым множителем отличается от дзета-функции ζ(s).
Лемма 1.2. Пусть χ(n) = χ 0(n) по модулю k. Тогда при Re s> 1
Доказательство леммы следует из (6) и определения главного характера χ0(n).
Следствие. L(s, χ) - аналитическая функция во всей s-плоскости, за исключением точки s = 1, где она имеет простой полюс с вычетом, равным
Если характер χ(n) является производным, a χ1(n) - примитивный характер по модулю k1, kt\k, отвечающий χ(n), то L(s, χ)лишь простым множителем отличается от L(s, χ1).
Лемма 1.3. Пусть χ1- примитивный характер по модулю k1 и χ - индуцированный χ1 производный характер по модулю k, kt ≠ k. Тогда при Re s > 1
Доказательство леммы следует из (1) и свойств χ1 и χ.
Функцию L(s, χ) можно продолжить в полуплоскость Re s > 1
Лемма 1.4. Пусть χ≠χ0, тогда при Re s>0 справедливо равенство
Где
Доказательство. Пусть N ≥1, Re s>l. Применяя преобразование Абеля, будем иметь
Где
Переходя к пределу N → +∞, получим (8) при Re s>l. Но |S(x)|≤φ(k); поэтому интеграл в (3) сходится в полуплоскости Re s > 0 и определяет там аналитическую функцию, что и требовалось доказать.
§2. Функция θ(x ,χ), её функциональное уравнение
Функциональное уравнение будет получено для L(s, χ)с примитивным характером χ; тем самым и в силу леммы 3 L(s, χ) будет продолжена на всю s-плоскость при любом χ. Вид функционального уравнения зависит от того, четным или нечетным является характер χ, т. е. χ(-1)=+1 или χ(-1)=-1
Прежде чем вывести функциональное уравнение для L(s, χ) и продолжить L(s, χ) на всю s-плоскость, докажем вспомогательное утверждение, аналогичное функциональному уравнению для θ(х) (см. лемму 3, IV).
Лемма 2.1. Пусть χ - примитивный характер по модулю k. Для четного характера χ определим функцию θ (x, χ) равенством
а для нечетного характера х определим функцию θ1(x, χ) равенством
Тогда для введенных функций θ (x, χ) и θ1(x, χ) справедливы следующие соотношения (функциональные уравнения):
где τ(χ) - сумма Гаусса.
Доказательство. Воспользуемся доказанным в лемме 3, IV равенством
где x > 0, α - вещественное.
Имеем
что доказывает равенство (6).
Чтобы доказать равенство (7), продифференцируем почленно (8) и заменим x на х/к, α на m/k (указанные ряды можно почленно дифференцировать, так как получающиеся после этого ряды равномерно сходятся). Получим
Отсюда, как и выше, выводим
Лемма доказана.
§3. Аналитическое продолжение L-функции Дирихле на комплексную плоскость
Получим аналитическое продолжение функции L(s, χ) в область Re s >0.
Лемма 3.1.Пусть χ(n) - неглавный характер по модулю m,
Тогда при Re s > 1 справедливо равенство
Доказательство. Пусть N≥1, Re s >1 . Применяя частное суммирование, будем иметь
Где c(x)=S(x)-1. Так как |c(x)|≤x , то, переходя к пределу N, получим
Что и требовалось доказать.
§4. Функциональное уравнение для L-функции Дирихле.
