Аналитическая геометрия

). Нахождение углов треугольника. Чтобы найти углы треугольника, нужно все уравнения прямых записать как уравнения с угловым коэффициентом, то есть

Аналитическая геометрия

Контрольная работа

Математика и статистика

Другие контрольные работы по предмету

Математика и статистика

Сдать работу со 100% гаранией

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Контрольная работа по аналитической геометрии

 

Задача 1. Написать уравнение прямой, проходящей через точку А (2, 4) и удаленной от начала координат на расстояние

 

Решение:

1) Пусть искомое уравнение имеет вид (ясно, что точка А (2, 4) удовлетворяет этому уравнению).

) Расстояние от начала координат до прямой равно

 

 

Приравняв это выражение к , получим уравнение

) Возведя обе части уравнения в квадрат, получим

,

,

Таким образом, искомое уравнение . Преобразуем полученное уравнение

,

 

Рисунок 1.

4) Прямая проходит через точку и расстояние от этой прямой до начала координат равно 2. То есть также является решением задачи (см. рисунок 1).

Ответ. Искомая прямая либо

 

Задача 2. Стороны АВ и ВС параллелограмма заданы уравнениями у = х - 2 и 5у = х + 6, диагонали его пересекаются в точке М(1, 4). Найти длины его высот

координата плоскость параллелограмм прямая

Решение:

1) Точка пересечения прямых , находится как решение системы

 

.

 

Вычитая из первого уравнение второе, получим , или . Из первого уравнения . Таким образом, координаты точки . Координаты .

) Координаты Координаты D совпадают с координатами вектора , Таким образом, координаты точки .

) Находим расстояние от D до прямой, воспользовавшись формулой

 

.

.

Находим расстояние от D до прямой

 

.

 

Ответ. Длины высот , .

 

Задача 3. Даны точки А(-4, 0) и В(0, 6). Через середину отрезка провести прямую, отсекающую на оси отрезок, вдвое больший, чем на оси

 

Решение:

1) Середина отрезка - точка

 

.

 

) Пусть уравнение искомой прямой в отрезках . По условию задачи , таким образом уравнение искомой прямой

 

.

 

Подставим координаты точки в уравнение. Получим

 

.

 

Уравнение искомой прямой .

 

Рисунок 2.

 

Ответ. Уравнение искомой прямой .

 

Задача 4. Построить плоскость х + у - z = 0 и прямую, проходящую через точки А(0, 0, 4) и В(2, 2, 0). Найти точку пересечения прямой и плоскости и угол между ними

 

1) Найти три точки, лежащие на плоскости, и через них построить плоскость.

Решение:

1) Если в уравнение подставить, , получим . Таким образом, точка лежит на плоскости. Аналогично, при , получаем и точка лежит на плоскости. Третья точка, лежащая на плоскости - . Построим плоскость и прямую .

 

Рисунок 3.

 

) Запишем уравнение прямой , подставляя в уравнение координаты точек А(0, 0, 4) и . Получим уравнение прямой . Приравняем к параметру все соотношения и перепишем уравнение прямой в параметрическом виде

 

.

 

) Подставим полученные выражения в уравнение плоскости . Получим для уравнение

.

Таким образом, точка пересечения прямой и плоскости (при )

 

 

) Если дано уравнение плоскости в виде , то координаты нормального вектора К плоскости нормальный вектор Вектор . Синус угла между прямой и плоскостью равен

 

,

.

 

Ответ. Точка пересечения прямой и плоскости , угол между прямой и плоскостью.

 

Задача 5. Написать уравнение плоскости, проходящей через точки Р(3, 0, -1) и Q(-1, -1, 3) и перпендикулярной плоскости 3х + 2у - z + 5 = 0

 

Решение:

Пусть уравнение искомой плоскости . Так как точка лежит на плоскости, то подставляя в уравнение плоскости ее координаты, получим уравнение .

Подставляя в уравнение плоскости координаты точки , получим уравнение .

Так как искомая плоскость перпендикулярна к плоскости 3х + 2у - z + 5 = =0, их нормальные вектора перпендикулярны. К плоскости в нормальный вектор , к плоскости 3х + 2у - z + 5 = 0 нормальный вектор Равенство нулю скалярного произведения дает уравнение

Таким образом имеем систему

 

 

Из третьего уравнения Подставляя в первое и второе уравнения, получим систему

 

,

.

 

Из уравнения получим . Подставив полученные выражения в уравнение , получаем уравнение искомой плоскости в виде

 

.

Умножим уравнение на 8:

.

Разделив уравнение на , получим искомое уравнение

.

Ответ. Уравнение искомой плоскости .

 

Задача 6. Найти углы и площадь треугольника, образованного прямыми у = 2х, у = -2х+1 и у = -х + 2

 

Решение:

1). Вычисление вершин.

а) Точка пересечения прямых, находится как решение системы

Подставляя выражение для из второго уравнения в первое, получим , откуда , или. Учитывая, что , при получаем .

Координаты точки .

б) Точка пересечения прямых , находится как решение системы

Подставляя выражение для из первого уравнения во второе, получим

 

,

,

,

 

Координаты точки .

с) Точка С пересечения прямых , находится как решение системы

Подставляя выражение для первого уравнения во второе, получаем . Следовательно, . При получим

Координаты точки .

 

Рисунок 4.

 

). Вычисление основания. Находим координаты вектора Длина .

). Вычисление высоты. Если дано уравнение прямой в виде и координаты точки , то расстояние от точки С до прямой находится по формуле

.

 

Уравнение прямой AB , или (то есть , , ). Координаты . Подставляя в формулу расстояния от точки до прямой, получаем высоту

 

.

 

). Нахождение площади. Площадь треугольника равна половине произведения основания и высоты, то есть .

 

кв.ед.

 

). Нахождение углов треугольника. Чтобы найти углы треугольника, нужно все уравнения прямых записать как уравнения с угловым коэффициентом, то есть в виде , - угловой коэффициент. Упорядочив коэффициенты по убыванию, , тангенсы внутренних углов находят по формулам (тангенс угла между прямыми с коэффициентами , ); (тангенс угла между прямыми с коэффициентами , ); (тангенс угла между прямыми с коэффициентами , ). Прямая AB имеет уравнение угловой коэффициент равен 2. Прямая AС имеет уравнение, угловой коэффициент равен -2. Прямая CB имеет уравнение , угловой коэффициент равен -1. Упорядочим угловые коэффициенты по убыванию Угловой коэффициент АВ , угловой коэффициент ВС , угловой коэффициент СB . Вычисляем тангенсы углов

 

(угол между СВ и АС),

(угол между АС и АВ),

(угол между АВ и СВ).

 

Ответ: кв.ед.; ; ; .

 

Задача 7. Стороны АВ и ВС параллелограмма заданы уравнениями 2х - у + 5 = 0 и х - 2у + 4 = 0, диагонали его пересекаются в точке М(1, 4). Найти длины его высот

 

Решение:

) Точка пересечения прямых , находится как решение системы

 

.

 

Умножаем второе уравнение на 2.

 

 

Вычитая из первого уравнение второе, получим , или . Из первого уравнения . Таким образом, координаты точки . Координаты .

) Координаты Координаты D совпадают с координатами вектора , Таким образом, координаты точки .

) Находим расстояние от D до прямой, воспользовавшись формулой

 

.

.

 

Находим расстояние от D до прямой

 

.

 

Ответ. Длины высот , .

 

Задача 8. Через начало координат проведена прямая на одинаковом расстоянии от точек А(2, 2) и В(1, 0). Найти это расстояние

 

Схема решения задачи.

) Записав уравнение искомой прямой в виде , найти параметр из условия, что точка лежит на прямой.

) Записать расстояние от точки до искомой прямой, затем расстояние от точки до искомой прямой.

) Приравняв полученные в пункте 2 выражения для расстояний, получить уравнение, содержащее параметр . Решить уравнение

) Написать уравнения полученной прямой (прямых). Найти расстояние от точек А и В до прямой (прямых). Сделать чертеж.

Решение:

1. Подставив (0;0) в уравнение , получим , то есть искомое уравнение имеет вид или .

. Расстояние от точки до прямой вычисляется по формуле

 

и равно .

 

Аналогично расстояние от точки до прямой равно

 

 

. Из условия получаем уравнение

Разделим уравнение на (ясно, что не является решением). Получаем

 

.

 

Следовательно, возможно два решения или .

Из первого уравнения получим , или , .

Из второго уравнения получим , или , .

. Таким образом, условию задачи удовлетворяют две прямые и . Расстояние от точек и до прямой равно

 

.

 

Расстояние от точек идо прямой равно

<

Похожие работы

1 2 >