Анализ устойчивости электротехнической системы

В данной практической работе мы ознакомились с возможностями математического пакета MathCad в среде Windows для анализа устойчивости электротехнической системы. Основными

Анализ устойчивости электротехнической системы

Контрольная работа

Компьютеры, программирование

Другие контрольные работы по предмету

Компьютеры, программирование

Сдать работу со 100% гаранией
частью, то для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы годограф амплитудно-фазовой частотной характеристики разомкнутой системы (годограф Найквиста) охватывал точку (-1, j0) комплексной плоскости на угол k π , или что тоже самое, охватывал точку (-1, j0) в положительном направлении, т.е. против часовой стрелки, k раз.

Для частного случая, когда характеристическое уравнение разомкнутой системы не имеет корней с положительной вещественной частью (k = 0), т.е. , когда она устойчива в разомкнутом состоянии, критерий Найквиста формулируется следующим образом:

система автоматического регулирования устойчива в замкнутом состоянии, если амплитудно-фазовая частотная характеристика разомкнутой системы при изменении частоты от 0 до ∞ не охватывает точку комплексной плоскости с координатами (-1, j0).

Критерий устойчивости Найквиста удобно применять для систем с обратной связью, особенно систем высокого порядка.

Для построения годографа Найквиста воспользуемся передаточной функцией разомкнутой системы в символьном виде из Практического занятия №5

 

 

Запишем ее в символьно-цифровом виде для заданных параметров всех элементов системы, кроме коэффициента передачи магнитного усилителя:

 

 

Запишем уравнение амплитудно-фазовой частотной характеристики,, выделим вещественную и мнимые частотные характеристики и построим семейство годографов Найквиста в функции частоты и коэффициента передачи магнитного усилителя.

 

Построения графика амплитудно-фазовой частотной характеристики в MathСad

 

Рис.3. Семейство кривых годографа Найквиста, построенный для передаточной функции разомкнутой системы в функции от kму.

Из рис.3 видно, что один из годографов Найквиста проходит через точку с координатами (j0, -1). Следовательно, в заданной области изменения коэффициента передачи магнитного усилителя есть и его критическое значение. Для его определения воспользуемся следующими соотношениями:

 

 

Следовательно, критический коэффициент передачи магнитного усилителя есть:

kмукр =11.186981170416560078

Убедимся, что это действительно так. Для этого построим кривые годографа Найквиста для трех значений коэффициента передачи магнитного усилителя: kму = 0.6 kмукр; kму = kмукр; kму =1.2 kмукр

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис.4. Кривые годографа Найквиста, построенные для

 

kму = 0.6 kмукр; kму = kмукр; kму =1.2 kмукр

 

Кривые рис.4 подтверждают, что критический коэффициент передачи магнитного усилителя найден верно.

 

2.5 Использование л.а.ч.х. и фазовых частотных характеристик для анализа устойчивости системы

 

Критерий устойчивости системы по логарифмической амплитудной частотной характеристике (л.а.ч..х ) и фазовой частотной характеристике можно сформулировать следующим образом:

Система автоматического регулирования, неустойчивая в разомкнутом состоянии, устойчива в замкнутом состоянии, если разность между числами положительных переходов (переход фазовой частотной характеристики снизу вверх через линию φ(ω) = -180° ) и числами отрицательных переходов (переход фазовой частотной характеристики сверху в низ через линию φ(ω) = -180° ) фазовой частотной характеристики φ(ω) через линию φ(ω) = -180° равно нулю в диапазоне частот, на которых л.а.ч..х (L(ω)> 0) .

Для построения фазовой частотной характеристики, желательно представить передаточную функцию в виде типовых динамических звеньев.

 

 

и строить фазовую характеристику, используя выражение:

 

где:

«+» - соответствует типовым динамическим звеньям числителя передаточной функции;

«-« - соответствует типовым динамическим звеньям знаменателя передаточной функции.

Для построения асимптотической л.а.ч.х. используем передаточную функцию разомкнутой системы, представленной в виде типовых динамических звеньев:

Для этого используем передаточную функцию вида:

 

Представим эту передаточную функцию в виде типовых динамических звеньев:

 

 

 

 

Параметры типовых динамических звеньев определяются, как показано ниже:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Уравнение фазовой характеристики будет иметь вид:

 

 

Определим частоту, при которой фазовая частотная характеристика пересекает ось φ(ω) = -180°

 

 

Для построения л.а.ч.х. воспользуемся выражением:

 

 

 

 

На рис.5 представлены графики л.а.ч.х для двух значений коэффициента передачи магнитного усилителя kму = 10 и kму = 80.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис.5. Графики л.а.ч.х. и фазовой частотной характеристик.

 

Анализ л.а.ч.х. и фазовой частотной характеристики показывают, что при увеличении коэффициента передачи магнитного усилителя от 8 до 80 система из устойчивой становится неустойчивой. Определим критический коэффициент передачи магнитного усилителя.

 

 

 

 

Если нет дополнительных требований по запасам устойчивости к системе, то рекомендуется принимать их равными:

 

ΔL(ω) = -12db Δφ(ω) = 35˚÷ 45˚

 

Определим, при каком коэффициенте передачи магнитного усилителя это условие выполняется.

Это же подтверждается графиками, приведёнными на рисунке 6.

 

 

 

Рис.6. Графики л.а.ч.х. и ф.ч.х., построенные для рекомендуемых запасов устойчивости.

 

Выводы

 

В данной практической работе мы ознакомились с возможностями математического пакета MathCad в среде Windows для анализа устойчивости электротехнической системы. Основными методами определения устойчивости являются: определение устойчивости с помощью корней характеристического уравнения. Достаточно к уравнению применить solve,s и получим корни уравнения , даже если оно 8-ой или более высокой степени. Отрицательные действительные корни или части комплексных корней являются критерием устойчивости. Критерии Рауса предполагают построение таблиц(матриц) и расчёт определителей . В MathCad задача определителей решается с помощью значка на панели матричных вычислений. Частотный критерий Найквиста самый наглядный из всех рассмотренных в данной работе. Если на графике кроме годографа Найквиста построить единичную окружность, то легко можно увидеть, при каких коэффициентах усиления система неустойчива, находится на грани устойчивости и устойчива. Если линия графика не охватывает точку (-1;j0), то замкнутая система устойчива. На основе использования критерия Найквиста можно определять запасы устойчивости по фазе и по амплитуде т.е. оценить степень устойчивости системы. Также в работе была исследована устойчивость при помощи логарифмических частотных характеристик. Зависимость отношения амплитуд выходного и входного сигнала от частоты называют амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ). Зависимость фазового сдвига между входным и выходным сигналом от частоты- фазочастотной характеристикой (ФЧХ). Для построения логарифмической АЧХ и ФЧХ их графики строят в системе координат (20lgА(w)- lg(w) и φ(w)- lg(w)) то есть в логарифмической неравномерной шкале по оси частот. Были построены графики ЛАЧХ и ФЧХ для рекомендуемых запасов устойчивости. Кроме того в работе мы оценили влияние коэффициента усиления системы на устойчивость системы и нашли критический коэффициент усиления системы. Опыт показывает, что обычно с увеличением коэффициента усиления система стремится к неустойчивой.

Похожие работы

< 1 2