Пирамида и призма

Тетраэдр является частным случаем пирамиды.Тетраэдр состоящий из треугольников ABC, DAB, DBC, DCA обозначается так: DABCТреугольники, из которых состоит тетраэдр, называются

Пирамида и призма

Реферат

Математика и статистика

Другие рефераты по предмету

Математика и статистика

Сдать работу со 100% гаранией

Общий исторический обзор

Первые геометрические понятия возникли в доисторические времена. Разные формы материальных тел наблюдал человек в природе: формы растений и животных, гор и извилин рек, круга и серпа Луны и т. п. Однако человек не только пассивно наблюдал природу, но практически осваивал и использовал ее богатства. В процессе практической деятельности он накапливал геометрические сведения. Материальные потребности побуждали людей изготовлять орудия труда, обтесывать камни и строить жилища, лепить глиняную посуду и натягивать тетиву на лук. Конечно, десятки и сотни тысяч раз натягивали люди свои луки изготовляли разные предметы с прямыми ребрами и т. п., пока постепенно дошли до отвлеченного понятия прямой линии. Примерно то же можно сказать о других основных геометрических понятиях. Практическая деятельность человека служила основой длительного процесса выработки отвлеченных понятий, открытия простейших геометрических зависимостей и соотношений.

Начало геометрии было положено в древности при решении чисто практических задач. Со временем, когда накопилось большое количество геометрических фактов, у людей появилось потребность обобщения, уяснения зависимости одних элементов от других, установления логических связей и доказательств. Постепенно создавалась геометрическая наука. Примерно в VI - V вв. до н. э. в Древней Греции в геометрии начался новый этап развития, что объясняется высоким уровнем, которого достигла общественно-политическая и культурная жизнь в греческих государствах. Произведения, содержащие систематическое изложение геометрии, появились в Греции еще в V до н.э., но они были вытеснены “Началами” Евклида.

Геометрические знания примерно в объеме современного курса средней школы были изложены еще 2200 лет назад в “Началах” Евклида. Конечно, изложенная в “Началах” наука геометрия не могла быть создана одним ученым. Известно, что Евклид в своей работе опирался на труды десятков предшественников, среди которых были Фалес и Пифагор, Демокрит и Гиппократ, Архит, Теэтет, Евдокс и др. Ценой больших усилий, исходя из отдельных геометрических сведений, накопленных тысячелетиями в практической деятельности людей, эти великие ученые сумели на протяжении 3 - 4 столетий привести геометрическую науку к высокой ступени совершенства. Историческая заслуга Евклида состоит в том, что он, создавая свои “Начала”, объединил результаты своих предшественников, упорядочил и привел в одну систему основные геометрические знания того времени. На протяжении двух тысячелетий геометрия изучалась в том объеме, порядке и стиле, как она была изложена в “Началах” Евклида. Многие учебники элементарной геометрии во всем мире представляли (а многие и поныне представляют) собой лишь переработку книги Евклида. “Начала” на протяжении веков были настольной книгой величайших ученых.

В XVII в. Декарт благодаря методу координат сделал возможным изучение свойств геометрических фигур с помощью алгебры. С этого времени начала развиваться аналитическая геометрия. В XVII - XVIII вв. зарождается и разрабатывается дифференциальная геометрия, изучающая свойства фигур с помощью методов математического анализа. В XVIII- XIX вв. развитие военного дела и архитектуры привело к разработке методов точного изображения пространственных фигур на плоском чертеже, в связи с чем появляются начертательная геометрия, научные основы которой заложил французский математик Г. Монж, и проективная геометрия, основы которой были созданы в трудах французских математиков Д. Дезарга и Б. Паскаля (XVII в.). В ее создании важнейшую роль сыграл другой французский математик - Ж. В. Понселе (XIX в.).

Коренной перелом в геометрии впервые произвел в первой половине ХIХ в. великий русский математик Николай Иванович Лобачевский, который создал новую, неевклидову геометрию, называемую ныне геометрией Лобачевского.

Открытие Лобачевского было началом нового периода в развитии геометрии. За ним последовали новые открытия немецкого математика Б. Римана и др.

В настоящее время геометрия тесно переплетается со многими другими разделами математики. Одним из источников развития и образования новых понятий в геометрии, как и в других областях математики, являются современные задачи естествознания, физики и техники.

 

 

 

 

Первоначальное понятие о многогранниках.

Многогранники и их элементы.

Проблемы нам создают не те вещи,

которых мы не знаем, а те, о которых мы

ошибочно полагаем, что знаем.

В. Роджерс

Определение. Многогранником называется тело, поверхность которого является объединением конечного числа многоугольников.

 

 

 

 

 

 

В соответствии с общим определением выпуклого множества, многогранник является выпуклым, если вместе с любыми двумя своими точками он содержит соединяющий их отрезок. На рисунке показаны выпуклый и, соответственно, невыпуклый многогранники.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Многоугольник, принадлежащий поверхности многогранника, называется его гранью, если он не содержится ни в каком другом многоугольнике, также принадлежащем поверхности многогранника.

Стороны граней называются рёбрами многогранника, а вершины вершинами многогранника.

Отрезки, соединяющие вершины многогранника, не принадлежащие одной грани, называются диагоналями этого многогранника.

Определение. Многогранник называется правильным, если все его грани равные правильные многоугольники и из каждой его вершины выходит одинаковое число рёбер.

ГраниВершиныРёбраТетраэдр446Куб6812Октаэдр8612Додекаэдр122030Икосаэдр201230Призма n-угольная2n3nn+2Пирамида n-угольнаяn+12nn+1Теорема Эйлера.Для числа граней Г, числа вершин В и числа рёбер Р любого выпуклого многогранника справедливо соотношение:

Г+В Р=2Принцип Кавальери:Если два тела могут быть расположены так, что любая плоскость, параллельная какой-нибудь данной плоскости и пересекающая оба тела, даёт в сечении с ними равновеликие фигуры, то объёмы таких тел равны.

 

Призма.

Определение. Призма многогранник, составленный из двух равных многоугольников A1A2…An и B1B2…Bn, расположенных в параллельных плоскостях, и n параллелограммов.Два равных многоугольника, лежащие в параллельных плоскостях, называются основаниями призмы (A1A2…An и B1B2…Bn).

Остальные грани призмы, являющиеся параллелограммами, называются её боковыми гранями (AnA1B1Bn)

Рёбра, не лежащие в основании призмы, называются боковыми рёбрами (A1B1; A2B2 … AnBn)Перпендикуляр, проведённый из какой-нибудь точки одного основания к плоскости другого основания, называется высотой призмы (h).Диагональная плоскость плоскость, проходящая через диагональ основания и боковое ребро призмы.Диагональное сечение фигура, полученная при пересечении диагональной плоскости с поверхностью призмы.Перпендикулярное сечение сечение призмы плоскостью, перпендикулярной её боковым рёбрам.В призму можно вписать сферу тогда и только тогда, если в перпендикулярное сечение призмы можно вписать окружность, диаметр которой равен высоте призмы.Если боковые рёбра призмы перпендикулярны к основаниям, то есть если основания служат нормальными сечениями боковой поверхности, то призма называется прямой, в противном случае наклонной. Высота прямой призмы равна её боковому ребру. Плоские углы основания являются плоскими углами двугранных углов между боковыми гранями.

 

Прямая призма называется правильной, если её основания правильные многоугольники. У такой призмы все боковые грани равные многоугольники.

В правильную призму можно вписать сферу тогда и только тогда, когда её высота равна диметру окружности, вписанной в основание.

 

 

 

 

Площадь боковой поверхности призмы это сумма площадей всех её боковых граней.

Sбокп*/g/, где Рп периметр перпендикулярного сечения, /g/ - длина бокового ребраПлощадь полной поверхности призмы сумма площадей всех её гранейSполн=Sбок+2SоснОбъём призмы. Объёмом геометрического тела называется величина части пространства, занимаемого этим телом.

Доп. справка: в геометрии принято:

  • За единицу объёма принимают объём куба с ребром единичной длины.
  • Равные тела имеют равные объёмы
  • Объём объединения нескольких неперекрывающихся (т.е. не имеющих общих внутренних точек) тел равен сумме их объёмов
  • Если одно тело содержит другое, то объём первого тела не меньше объёма второгоV=Sосн*hТеорема. Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы.Sбок=Pосн*hЧастным случаем призмы является параллелепипед призма, основанием которой служат параллелограммы.

 

 

 

 

 

 

Основные свойства пар

Лучшие

Похожие работы

1 2 >