«Liber аbaci» Леонардо Фибоначчи

А теперь поговорим подробнее о некоторых арифметических и алгебраических задачах из «Liber abaci», с которыми должны легко справиться (в отличие

«Liber аbaci» Леонардо Фибоначчи

Статья

История

Другие статьи по предмету

История

Сдать работу со 100% гаранией

«Liber аbaci» Леонардо Фибоначчи

Наталья Карпушина

Отец мой, родом из Пизы, служил синдиком на таможне в Бужи, в Африке, куда он меня взял с собою для изучения искусства считать. Удивительное искусство считать при помощи только девяти индусских знаков мне так понравилось, что я непременно захотел познакомиться с тем, что известно об этом искусстве в Египте, Греции, Сирии, Сицилии и Провансе. Объехав все эти страны, я убедился, что индусская система счисления есть самая совершенная... Изучив основательно эту систему и все к ней относящееся, прибавив свои собственные исследования и почерпнутое из «Начал» Евклида, я решился написать это сочинение.

Из предисловия автора к трактату «Liber abaci»

Леонардо Пизанский (ок. 1180...1240)

Книга-энциклопедия

В 1202 г. появилась на свет знаменитая «Книга абака» Леонардо Пизанского (более известного под прозвищем Фибоначчи сын Боначчи), крупнейшего европейского математика эпохи Средневековья. Этот объемный труд, насчитывающий в печатном варианте 459 страниц, стал настоящей энциклопедией математических знаний того времени и сыграл важную роль в их распространении в странах Западной Европы в следующие несколько столетий. Работа написана на латыни и считается первым сочинением такого рода, автор которого был христианином.

«Liber abaci», или трактат по арифметике (а именно так можно истолковать название, поскольку под «абаком» Леонардо понимал не счетную доску, а арифметику), отличалась полнотой охвата и глубиной изложения. В ней подробно разъяснялись не только азы науки о числах и действиях над ними, но и основы учения об уравнениях, т.е. алгебры. Кроме того, в «Liber abaci» имелось большое количество задач практического содержания, иллюстрировавших различные приемы решения, как арифметические тройное правило, правило товарищества, метод ложного положения и др., так и алгебраические, приводящие к одному или нескольким уравнениям.

Само изложение было словесным, лишенным привычных для современного читателя символов и формул, а решение примеров и задач, носивших, как мы говорим сегодня, частный характер, сводилось к описанию действий, которые следовало применить в той или иной конкретной ситуации, и нередко сопровождалось разъяснениями или полезными комментариями автора.

Книга была адресована не только ученым мужам, но и более широкому кругу читателей: купцам, счетоводам, продавцам, чиновникам и т.д. В предисловии отмечалось, что автор написал свой труд, дабы «род латинян» не прибывал более в незнании излагаемых в нем вещей. Однако для многих из тех, кому предназначалась «Liber abaci», книга оказалась трудновата, поэтому несмотря на популярность и доработанное автором издание* 1228 г., не получила того широкого распространения, которого заслуживала.

* До нас «Liber abaci» дошла как раз во втором варианте. Ее первое печатное издание появилось на родине математика, в Италии, в средине XIX в. =

Зато трактат Леонардо приобщил к достижениям индийских и арабских математиков европейских ученых и оказал существенное влияние на дальнейшее развитие алгебры и теории чисел. «Liber abaci» была востребована математиками эпохи Возрождения и Нового времени, сумевшими оценить ее по достоинству, ведь книга отличалась не только богатством и разнообразием рассмотренных в ней примеров и методов, но и строгостью, доказательностью изложения.

На протяжении нескольких столетий по труду Фибоначчи ученые знакомились с двумя важнейшими разделами математики арифметикой и алгеброй и черпали из него задачи и оригинальные методы решения, благодаря чему уже в XVXVI вв. те разошлись по многочисленным итальянским, французским, немецким, английским, а позже и русским рукописям, печатным книгам и учебникам. Некоторые задачи или их аналоги можно обнаружить и в «Сумме арифметики» Пачиоли (1494), и в «Приятных и занимательных задачах» Баше де Мизириака (1612), и в «Арифметике» Магницкого (1703), и даже в «Алгебре» Эйлера (1768).

Заслуги и достижения Леонардо Пизанского

Каково же было содержание написанной Фибоначчи книги-энциклопедии, в которой насчитывалось целых пятнадцать глав? Оказывается, в ней рассматривался весьма обширный круг вопросов:

индусская система нумерации;

правила действий над целыми числами;

дроби и смешанные числа;

разложение чисел на простые множители;

признаки делимости;

учение об иррациональных величинах;

способы приближенного вычисления квадратных и кубических корней;

свойства пропорции;

арифметическая и геометрическая прогрессии;

линейные уравнения и их системы.

Наконец, отдельная глава была посвящена квадратным уравнениям и геометрическим задачам на применение теоремы Пифагора.

Основную часть сведений автор кропотливо собирал, путешествуя по разным странам как купец, кое-что почерпнул из трудов Евклида (а по сути из наследия античных математиков). Особую ценность представляло подробное изложение малоизвестной тогда в Европе индусской (десятичной) системы счисления и новых методов вычисления, позволявших заметно упростить всевозможные расчеты и успешно решать большой круг задач*.

* В своем труде Леонардо упомянул о разных нумерациях, как известных у него на родине, так и использовавшихся в странах Востока, которые он посетил, и показал преимущества индусской системы счисления. А начинался трактат так: «Девять индусских знаков суть следующие: 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1. С помощью этих знаков и знака 0, который называется по-арабски «сифр», можно написать какое угодно число».

Надо сказать, отдельные случаи использования этой системы встречались и ранее. С Востока ее привозили паломники, ученые, купцы, посланники и военные. Наиболее древний европейский манускрипт, в котором упоминаются придуманные индусами цифры, относится еще к концу X в. Однако десятичная система счисления очень медленно проникала в западные страны и получила там широкое распространение лишь в эпоху Возрождения.

Отметим также, что именно благодаря Фибоначчи европейцы познакомились с общими правилами решения квадратных уравнений, описанными в трактате аль-Хорезми.

Но Леонардо Пизанский был не только автором-составителем энциклопедии «Liber abaci». В ней математик отразил и результаты собственных научных изысканий. В частности, в этом труде он впервые:

сформулировал правило для нахождения суммы членов произвольной арифметической прогрессии;

рассмотрел возвратную последовательность, в которой каждое число, начиная с третьего, равно сумме двух предшествующих ему чисел;

ввел термин «частное» для обозначения результата деления;

описал способ приведения дробей к общему знаменателю с помощью нахождения наименьшего общего кратного знаменателей (более рациональный, чем использовали арабские математики).

Кроме того, Фибоначчи самостоятельно разработал ряд алгебраических приемов решения задач, исследовал некоторые уравнения высших степеней, сводящиеся к квадратным, и первым среди европейских ученых подошел к введению отрицательных чисел и их толкованию как долга, что по тем временам являлось огромным достижением.

Универсальный задачник

Немалую ценность «Liber abaci» придавало наличие в ней множества разнообразных задач, одни из которых были заимствованы из арабских и прочих источников, а другие придуманы самим автором. Большую группу составляли чисто арифметические и алгебраические примеры: на выполнение действий над числами, извлечение корней, решение уравнений или систем и т.д. В другую группу входили сюжетные задачи (в том числе связанные с житейскими ситуациями): на смешение, определение стоимости или количества купленного товара, раздел имущества и разного рода финансовые расчеты между людьми (задачи коммерческой арифметики) и т.п.

Например, к задачам на смешение относились два вида задач «на сплавы»: на определение пробы сплава, сделанного из других сплавов известного состава и количества, и на выяснение того, сколько каждого из данных сплава потребуется, чтобы получить сплав нужной пробы. А одной из типичных задач коммерческой арифметики была задача на раздел некоторой суммы денег пропорционально долям участников.

В трактат Фибоначчи вошли также текстовые задачи на воспроизведение определенного действия, например нахождения числа по его части. Вот одна из них. Четвертая и третья части дерева находятся под землей и составляют 21 фут. Чему равна длина всего дерева?

Некоторые из затронутых в труде Леонардо вопросов в разное время привлекали внимание ученых-математиков и не раз упоминались в более поздних сочинениях. Так произошло, в частности, с популярной в средние века задачей на отыскание наименьшего набора различных гирь, с помощью которого можно уравновесить любой груз с целочисленной массой, не превосходящей заданного числа.

Но наиболее известной по сей день остается, конечно же, задача о размножении кроликов, впервые появившаяся именно в «Liber abaci». Спрашивается, сколько пар кроликов родится за год от одной пары, если кролики начинают приносить потомство со второго месяца и каждая пара через месяц производит на свет еще одну пару? Ее решение привело Фибоначчи к открытию едва ли ни самой знаменитой числовой последовательности

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ... ,

названной впоследствии его именем и породившей множество исследований, в особенности связанных с изучением свойств золотой пропорции.

Знакомые задачи из трактата Фибоначчи

А теперь поговорим подробнее о некоторых арифметических и алгебраических задачах из «Liber abaci», с которыми должны легко справиться (в отличие от первых читателей книги Лео

Лучшие

Похожие работы

1 2 3 > >>