Вопросы по предмету математика и статистика

Вопросы по предмету математика и статистика

Основы теории вероятности и математической статистики

Вопросы пополнение в коллекции 17.06.2012

Испытание - это многократное воспроизведение одного и того же комплекса условий, при котором производится наблюдение. Качественный результат испытания - событие. Пример 1: В урне имеются цветные шары. Из урны на удачу берут один шар. Испытание - извлечение шара из урны; Событие - появление шара определенного цвета. О. 2: Множество взаимоисключающих исходов одного испытания называется множеством элементарных событий или элементарных исходов. Пример 2: Игральная кость подбрасывается один раз. Испытание - подбрасывание кости; Событие - выпадение определенного числа очков. Множество элементарных исходов - {1,2,3,4,5,6}. События обозначаются заглавными буквами латинского алфавита: А1,А2,…,А,В,С,… Наблюдаемые события (явления) можно подразделить на следующие три вида: достоверные, невозможные, случайные. О. 3: Событие называется достоверным, если в результате испытания оно обязательно произойдет. О. 4: Событие называется невозможным, если в результате испытания оно никогда не произойдет. О. 5: Событие называется случайным, если в результате испытания оно может либо произойти, либо не произойти. Пример 3: Испытание - мяч подбрасывается вверх. Событие A ={мяч упадет} - достоверное; Событие B={мяч зависнет в воздухе} - невозможное; Событие C={мяч упадет на голову бросавшему} - случайное. Случайные события (явления) можно подразделить на следующие виды: совместные, несовместные, противоположные, равновозможные. О. 6: Два события называются совместными, если при одном испытании, появление одного из них не исключает появление другого. О. 7: Два события называются несовместными, если при одном испытании, появление одного из них исключает появление другого. Пример 4: Монета подбрасывается два раза. Событие A - {Первый раз выпал герб}; Событие B - {Второй раз выпал герб}; Событие C - {Первый раз выпал орел}. События A и B - совместные, A и C - несовместные. О. 8: Несколько событий образуют полную группу в данном испытании, если они попарно несовместны и в результате испытания одно из этих событий обязательно появится. Пример 5: Мальчик бросает монетку в игральный автомат. Событие A ={мальчик выиграет}; Событие B={мальчик не выиграет}; A и B - образуют полную группу событий. О. 9: Два несовместных события, образующих полную группу называются противоположными. Событие противоположное событию A обозначается . Пример 6. Делается один выстрел по мишени. Событие A - попадание; Событие - промах.

Подробнее

Математика (билеты)

Вопросы пополнение в коллекции 12.01.2009

2)Если каждому действительному числу поставлен в соответствие его синус, то говорят, что задана функция синус (обозначение y=sin x). Свойства функции синус 1) Область определения функции синус является множество всех действительных чисел, т.е. D(y)=R. Каждому действительному числу х соответствует единственная точка единичной окружности Px, получаемая поворотом точки P0(1;0) на угол, равный х радиан. Точка Рх имеет ординату, равную sinx. Следовательно, для любого х определено значение функции синус. 2) Множеством значений функции синус является промежуток [-1;1], т.е. E(y)=[-1;1]. Это следует из определения синуса: ордината любой точки единичной окружности удовлетворяет условию 1 <= Ypx<=1, т.е. 1<=sin x<=1 3)Функция синус является нечётной, т.е. для любого х принадлежащего R выполняется равенство sin(-x)=-sinx. Пусть точка Рх получена при повороте точки Р0 на х радиан, а точка Р-х получена при повороте точки Р0 на х радиан (рис 43). Треугольник ОрхР-х является равнобедренным; ON-биссектриса угла РхОР-х, значит, ON является медианой и высотой, проведённой к стороне РхР-х. Следовательно, PxN = P-xN, т.е. ординаты точек Рх и Р-х одинаковы по модулю и противоположны по знаку. Это означает, что sin(-x)=-sinx. 4) Функция синус является периодической с периодом 2ПиR, где R- целое. Кроме 0. Наименьшим положительным периодом синуса является число 2Пи. Каждому действительному числу вида x+2ПиR, где R принадлежит Z, соответствует единственная точка единичной окружности Рх + 2ПиR, получаемая поворотом точки Р0(1;0) на угол x+2ПиR имеет ординату, равную sinx или sin(x+2ПиR). Таким образом, sin(x+2ПиR)=sinx. Этим показано, что числа вида 2ПиR, где R- целое, кроме 0, являются периодом функции. При R=1 имеем sin(x+2Пи)=sinx, следовательно, число 2Пи также является периодом функции синус. Покажем, что 2Пи-наименьшее положительное число, являющееся периодом функции синус. Пусть Т положительный период функции синус; тогда sin(x+T)=sinx при любом х. Это равенство верно и при x= Пи.2, т.е. sin(пи/2 + T)=sin Пи/2 = 1. Но sinx=1,если x= Пи/2 + 2Пиn, где n принадлежит Z. Наименьшее положительное число вида 2Пиn есть 2Пи. 5) Функция синус принимает значение нуль при x=ПиR, где R принадлежит Z. Решением уравнения sinx=0 являются числа x=ПиR, где R принадлежит Z. 6) Функция синус принимает положительные значения при 2ПиR<x<Пи+2ПиR, где R принадлежит Z. Функция синус принимает отрицательные значения при Пи+2ПиR<x<2Пи+2ПиR, где R принадлежит Z. Промежутки знакопостоянства (рис44) следует из определения синуса. 7) Функция синус возрастает на промежутках [-Пи/2 + 2ПиR; Пи/2 + 2ПиR], где R принадлежит Z, и убывает на промежутках [Пи/2 + 2ПиR; 3Пи/2 + ПиR], где R принадлежит Z Докажем, что функция синус возрастает на промежутке [-Пи/2; Пи/2]. Пусть х1принадлежит [-Пи /2; Пи /2] и х2>x1. Сравним два значения функции: sinx2 sinx1 = 2cos x1+x2/2 * sin x2-x1/2; 0< x2-x1/2 <= Пи/2, -Пи/2 < x1+x2/2< Пи/2, поэтому, учитывая промежутки знакопостоянства синуса и косинуса, имеем sin x2-x1/2 > 0, cos x1+x2/2>0. Таким образом, sinx2-sinx1>0, значит, большему значению аргумента соответствует большее значение функции, т.е. функция синус возрастает на промежутке [-Пи/2; Пи/2]. В силу периодичности синуса можно утверждать, что синус возрастает на промежутках [-Пи/2 + 2ПиR; Пи/2 + 2ПиR], где R принадлежит Z. 8) Функция синус имеет максимумы , равные 1, в точках Пи/2 + 2ПиR, где где R принадлежит Z. Функция Синус имеет минимумы, равные 1, в точках 3Пи/2 + 2ПиR, где R принадлежит Z. Покажем, что точка х0=Пи/2 является точкой максимума. Функция синус возрастает на промежутке [-Пи/2; Пи/2], т.е. sinx<sinПи/2 для любого х принадлежащего [-Пи/2 ; пи/2]. Функция синус убывает на промежутке [Пи/2; 3Пи/2], т.е. sin x < sin Пи/2 для любого х принадлежащего [Пи/2; 3Пи/2]. Ледовательно, х0+Пи/2 является точкой максимума (по определению), а значение sinx=1 является максимумом. В силу периодичности функции синус можно утверждать, что в точках Пи/2 + 2ПиR, где R принадлежит Z, функция имеет максимум, равный 1. 9) Функции арксинус дифференцируема в каждой точке области определения; производная вычисляется по формуле (sin x)=cosx. (рис 45)

Подробнее

Алгебраические тождества

Вопросы пополнение в коллекции 12.01.2009

¦ Основное ¦ logax ¦ x>0; a>0; a-1 ¦

Подробнее

Билеты по математике

Вопросы пополнение в коллекции 12.01.2009

Зафиксируем любую точку M0(x0,y0,z0). Рассмотрим кривую проходящую через эту точку. Пусть уравнение этой кривой будет x=x(t) y=y(t) z=z(t) где . Предположим что эти функции непрерывны и имеют непрерывные частные производные по t . Пусть т. M0 соответствует значению параметра t=t0 x0=x(t0) y0=y(t0) z0=z(t0). Т.е. M0(x(t0),y(t0),z(t0))=M0(x0,y0,z0) , т.к. кривая Г лежит на пов-ти, то она удовлетворяет уравнению поверхности т.е. F(x(t),y(t),z(t)) 0, берём производную . Посмотрим это рав-во в т.M0 т.е. t=t0 получим ; Введём обозначение через , а через , а так как то проведём через точку М0 любую кривую. из рассмотренных равенств заметим, что любые кривые на пов-ти, кот-е являются непрерывными , всегда будет выполнятся рав-во , а это рав-во показывает что вектор будет ортогонален к любому касательному вектору , кот-й проходит через эту точку М0, значить все касательные s лежат в одной плос-ти перпендикулярно к . Эту плос-ть состоящую из касательных векторов называют касательной плоскостью к поверхности в т. М0, а вектор наз нормальным вектором плоскости в т. М0. в случае не явно. Прямая проходящая через т. М0 и перпендикулярная к касательной плоскости поверхности называют нормалью поверхности. Но тогда ур-е прямой поверхности проходящую через т. М0: .

Подробнее

Лекции по математическому анализу

Вопросы пополнение в коллекции 12.01.2009

При определении частных производных каждый раз изменяется только одна переменная, остальные переменные рассматриваются как постоянные. В результате каждый раз мы рассматриваем функцию только одной переменной и частная производной совпадает с обычной производной этой функции одной переменной. Отсюда правило нахождения частных производных: частноя производная по рассматриваемой переменной ищется как обычная производнаяфункции одной этой переменной, остальные переменные расстатриваются как постоянные величины. При этом оказываются справедливыми все формулы дифференцирования функции одной переменной (производноя суммы, произведения, частного).

Подробнее

Математические модели в естествознании

Вопросы пополнение в коллекции 12.01.2009

Изучение нейронных систем -одно из самых романтических направлений научных исследований, поскольку нейронные системы присущи как человеку, так и животным. Самая совершенная интеллектуальная система -человеческий мозг. Никакой компьютер в настоящее время не может воспроизвести ее феномен. Более того, даже поведение таких относительно простых организмов, как кальмары, в настоящее время в полной мере невозможно смоделировать на компьютере. Законы функционирования отдельных элементов нервной системы в целом не плохо изучены. Однако, законы функционирования ассоциаций нельзя свести законам поведения отдельных элементов. На самом деле об эффектах, обусловленных коллективным поведением нейронных популяций, известно мало. Понятны некоторые самые общие принципы. Например, нейронные системы способны адаптироваться к меняющимся условиям, т.е. им не нужны жесткие программы. Одновремено, последние, хотя бы в форме рефлексов, присутствуют в нервной системе. Экспериментальное изучение эффектов коллективного поведения нейронных систем затруднено. Эти системы слишком сложно устроены. Так в мозге человека и животных каждый нейрон находится под воздействием тысяч других нейронов и, соответственно, влияет на тысячи нейронов. Всего же по современным оценкам в мозге порядка миллиарда нейронов. Огромное значение имеет математическое моделирование, как метод косвенного исследования. Оно помогает понять, какие процессы могут происходить в нейронных популяциях. Затем уже можно пытаться обнаружить соответствующие явления экспериментально. Модели различаются в зависимости от целей моделирования. Некоторые модели достаточно адекватно в деталях описывают поведение отдельных нейронов и помогают понять закономерности их функционирования. Они же являются базовыми для моделей малых нейронных популяций. Для описания больших популяций используют упрощенные модели нейронов. Упор делается на изучение эффектов коллективного поведения. Результаты моделирования используются как в нейрофизиологии, так и в технике. Уже сейчас выпускаются нейронные платы. Пока их возможности не велики. Они используются, например, в обработке изображений, а также при решении некоторых экономических задач. Следует отметить, что сейчас все задачи, которые можно решить с помощью нейронных плат, в принципе можно решить и с помощью обычного компьютера. Однако, нейронные платы увеличивают быстродействие. Перспективным считается направление, связанное с использованием нейронной техники для проведения вычислений. Ряд вычислений на нейроподобных системах может проводиться нетрадиционным способом -путем имитации явлений.

Подробнее

Комплексный анализ

Вопросы пополнение в коллекции 12.01.2009

b<Imz<b+2 - нет ни одной точки с совпадающей действительной частьюCC/{0}Ln(w)=ln|w| +i(argw + 2k )CC/{0}C/{0}Ж(z)=1/2(z+1/z)C/{-1,1}Множество, где для любых z, w, что их произведение по модулю не равно 1.CCЖ-1(w)=w+(w2-1)1/2C/{-1,1}Ветвление в точках [1, 1].CC

Подробнее

Виды тригонометрических уравнений

Вопросы пополнение в коллекции 12.01.2009

Если в уравнении тригонометрическая функция находится под знаком радикала, то такое тригонометрическое уравнение будет иррациональным. В таких уравнениях следует соблюдать все правила, которыми пользуются при решении обычных иррациональных уравнений (учитывается область допустимых значений как самого уравнения, так и при освобождении от корня четной степени).

Подробнее

Вопросы к гос. экзамену по дисциплине &quot;Математика – Алгебра&quot;

Вопросы пополнение в коллекции 12.01.2009

Допустим, что для любого числа натурального, меньшего n утверждение справедливо и докажем для n. Если n простое число, то это и есть его разложение и оно единственно. Если n составное, то оно допустит разложение на простые числа. Предположим, что таких разложений оказалось два: n = p1p2 pк = q1q2 … qs (1). Из равенства (1) видно, что правая часть делится на p1. А т.к. в правой части числа простые, то

  1. существует число qi, которое делится на p1;
  2. (p1, qi) = 1. Следовательно, p1 = qi. Пусть qi = q1, разделим обе части равенства (1) на p1, получим, что и левая часть и правая часть числа натуральные, меньше n, а для них разложение единственное с точночтью до перестановки сомножителя. Поэтому при соответственно мы получаем, что n = p1p2 pк разложение n и это разбиение единственное. Что и требовалось доказать.
Подробнее

Вопросы по алгебре

Вопросы пополнение в коллекции 12.01.2009

Решить уравнения:

  1. sin(x2 + x) =1/2;
  2. 4 - сos2 x = 4sinx
  3. 5 - 2cosx = 52sin(x/2)
  4. cos4x = cos2x
  5. sin4x + cos4x = sin2x-1/2
  6. sin2x + 3sin2x - 2сos2x = 2
  7. cos(x/2) + 3/2sinx + 5sin2(x/2) = 3
  8. sinx - 2cosx = 1
  9. cos6x + sin6x - cos22x = 1/16
  10. cos2x - sin3xcosx + 1 = sin2x + sinxcos3x
  11. tgx - tg2x = sinx
  12. 2sin3x - cos2x - sinx = 0
  13. 2cos2x = 6(cosx - sinx)
  14. 1 - sinx = cosx - sin2x
  15. 23sin2(x/2) + 2 = 2sin2x + 3
  16. 1 + cos(x2 + 1) = sin2(x2 + 1)
  17. 2sinxcos2x + cos4x = 2sinx + cos2x + cos2x
  18. tg2x + ctg2x + 3tgx + 3ctgx +4 = 0
  19. 1 + cos(x/2) + cosx = 0
  20. 1 - sin(x/2) = cosx
  21. 2sin2x + cos4x = 0
  22. sin4x + 2cos2x = 1
  23. 5sinx - 4ctgx = 0
  24. 3cosx + 2tgx = 0
  25. 1 + 4cosx = cos2x
  26. 2cos2x + 5sinx + 1 = 0
  27. cos2x + 32sinx - 3 = 0
  28. 2cos2x + 4cosx =sin2x
  29. 2cos2x + sin3x = 2
  30. cos4x + 4sin2x = 1 + 2sin22x
  31. 4 - 6cosx = 3 sin2x - sin2(x/2)
  32. 5 + 2sin2x - 5cosx = 5sinx
  33. cos4x + 8sin2x - 2 = 6cos2x - 8 cos4x
  34. 4 - 3cos4x = 10sinxcosx
  35. sin4x = (1 +2)(sin2x + cos2x - 1)
  36. cos(10x + 12) + 42sin(5x + 6) = 4
  37. sin3x + cos3x = 1 - 1/2sin2x
  38. ctg2x - tg2x = 16cos2x
  39. 1 + sinx + cosx + sin2x + cos2x = 0
  40. 1/2(cos2x + cos22x) - 1 = 2sin2x - 2sinx - sinx - sin2x
  41. tg(/2cosx) = ctg(/2sinx)
  42. sin3x - sinx + cos2x = 1
  43. 2cos2x + 3sinx = 0
  44. 2sin2x + 1/cos2x = 3
  45. 2sin2x + 3cosx = 0
  46. 1 + sinx+ cosx = 0
  47. sin4x + cos4x = sin2x
  48. 4cos4x + 6sin22x + 5cos2x = 0
  49. cos2x + 4sin3x = 1
  50. 1 - sin2x = -(sinx + cosx)
  51. 4sin22x - 2cos22x = cos8x
  52. 8sin4x + 13cos2x = 7
  53. 2sinx + 3sin2x = 0
  54. cos(x/2) = 1 + cosx
  55. sin2x = 1 + 2cosx + cos2x
  56. sin2x = 3sinx
  57. 2cos23x - cos3x = 0
  58. 3sin2x = 2cos2x
  59. 3sin2x - cos2x - 1 = 0
  60. 3sin2x - cos2x = 3
Подробнее

Билеты по геометрии

Вопросы пополнение в коллекции 12.01.2009

Доказательство: пусть и - данные плоскости, а1 и а2 - прямые в плоскости , пересекающиеся в точке А, в1 и в2 - соответственно параллельные им прямые в плоскости . Допустим, что плоскости и не параллельны, т.е. пересекаются по некоторой прямой с. По теореме 16.3 прямые а1 и а2 , как параллельные прямым в1 и в2, параллельны плоскости , и поэтому они не пересекают лежащую в этой плоскости прямую с. Таким образом, в плоскости через точку А проходят две прямые (а1 и а2), параллельные прямой с. Но это невозможно по аксиоме параллельных. Мы пришли к противоречию ЧТД.

Подробнее

Все формулы по математике в школе

Вопросы пополнение в коллекции 12.01.2009

град 0 30 45 60 90120135180 -/2-/3-/4-/6 0/6/4/3/22/33/43/6 sin -1-3/2-2/2- 0 2/23/2 1 - 0cos 13/22/2 0 - -2/2- 3/2 -1tg -3 -1-1/3 01/3 1 3 -3 -1 0ctg --- 3 11/3 0-1/3 -1 --

Подробнее

Билеты по математическому анализу

Вопросы пополнение в коллекции 12.01.2009

Пр-р. Пусть ф-ция явл-ся пр-ной ф-цией некоторой фирмы, напр. объем вып-ка продукции, а арг. х-числ. раб. силы. Хар-ный график этой ф-ции имеет сл. вид у f(x) возр. для x>0. На инт. От (0,a) ф-ция возр. все быстрее. Его можно р-ривать, как этап образования фирмы вначале которого выпуск растет медленно, поскольку первые рабочие не прошли период адаптации, но с теч. времени эффект привл. доп. раб. рабочих становится все больше, и соотв. ув-ся крутизна графика. На (,a) ф-ция возр. все медл. и гр. становится все более пологой. а это пороговое знач. числ. раб. силы начиная с которого привл. доп. раб. силы начиная с которого привл. раб. силы дает все меньший эффект в объемке вып-ка. А(х) возр. f(x)>0 x0, но на интервале от 0 до а (0;а) f(x) возр. в то время как (0;) f убыв., а в т-ке а-max. По критерию монотонности это означает на (0;а) f(x)0 (f-выпукла), а на (a;) f(x)0 (f-вогнута).

Подробнее

Контрольные билеты по алгебре

Вопросы пополнение в коллекции 12.01.2009

Билет №4.

  1. Функция y = ctg x, ее свойства и график.
  2. Изобразить график логарифмической функции с основанием, меньшим единицы, но большим нуля и описать свойства функции (доказательство одного из свойств по желанию ученика).
Подробнее

Алгебраические формулы

Вопросы пополнение в коллекции 12.01.2009

cos=1-sin2=(1-tg2/2)/(1+tg2/2)sin=1/1+ctg2=(2tg/2)/(1+tg2/2)cos()=sinsincoscossin(=sincossincostg(+)=sin(+)/cos(+)=(tg+tg)/(1-tgtg)tg(-)=(tg-tg)/(1+tgtg)ctg(+)=(ctgctg-1)/(ctg+ctg)ctg(-)=(ctgctg+1)/(ctg-ctg)sin2=2sincos=(2tg)/(1+tg2)cos2=cos2-sin2=(1-tg2)/(1+tg2)=2cos2-1=1-2sin2tg2=2tg/(1-tg2)ctg2=(ctg2-1)/2ctgctg2=(ctg2-1)/2ctg cos2/2=1+cos/2cos2=(1+cos2)/2sin2/2=1-cos/2sin2=(1-cos2)/2cos/2=1+cos/2sin/2=1-cos/2tg/2=1-cos/1+cos=(sin)/(1+cos)=(1-cos)/sinctg/2=1+cos/1-cos=sin/(1-cos)=(1+cos)/sinsin+cos=2 cos(/4-)sin-cos=2 sin(-/4)cos-sin=2 sin(/4-)cos+cos=2cos(+)/2cos(-)/2cos-cos=-2sin(+)/2sin(-)/2sin+sin=2sin(+)/2cos(-)/2sin-sin=2sin(-)/2cos(+)/2tgtg=(sin())/coscoscoscos=1/2(cos()+cos(+))sinsin=1/2(cos()-cos(+))sincos=1/2(sin(+)+sin(-))tg=(2tg/2)/(1-tg2/2)

Подробнее

Дифференциальная геометрия

Вопросы пополнение в коллекции 12.01.2009

Структура расслоения задается набором диффеоморфизмов, которые каждому прямому произведению слоя F на некоторую область из базы ставят в соответствие прообраз этой области на расслоении а так же функциями перехода между прямыми произведениями слоя F и областями базы, где эти области пересекаются, причем функции склейки для слоя являются элементами структурной группы G гладких преобразований слоя F.

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Вопросы пополнение в коллекции 12.01.2009

Решением уравнения 1 называется н-раз дифференцированная функция y=f(x), которая при подстановке в уравнение 1 обращает его в тождество. В простейшем случае определение функции y=f(x) сводится к вычислению интеграла, а поэтому процесс нахождения решения диф. уравн. называется его интегрированием, а график ф-ции y=f(x) называется интегральной кривой диф. уравн. Т.к. при интегрировании функции получается множество решений, отличающихся друг от друга постоянным коэффициентом, то любое диф. уравн. также будет иметь множество решений, графически определяемых семейством интегральных кривых. Общим решением (общим интегралом) диф. уравн. н-го порядка называется его решение явно (неявно) выраженное относительно ф-ции у и содержащей н-независимых производных постоянных.

Подробнее

Задачи Циолковского

Вопросы пополнение в коллекции 12.01.2009

Современные химические топлива позволяют получать скорости истечения газа из сопла реактивного двигателя порядка 2...2,3 км/с. Создание ионного и фотонного двигателей позволит значительно увеличить эту скорость. Другой путь увеличения скорости ракеты в конце горения связан с увеличением так называемой массовой, или весовой, отдачи ракеты, т. е. с увеличением числа Z, что достигается рациональной конструкцией ракеты. Можно значительно увеличить массовую отдачу ракеты М0р путем применения м н о г о с т у п е н ч а т о й ракеты, у которой после израсходования топлива первой ступени отбрасываются баки и двигатели от оставшейся части ракеты. Так происходит со всеми баками и двигателями уже отработавших ступеней ракеты. Это значительно повышает число Циолковского для каждой последующей ступени, так как уменьшается Мр за счет отброшенных масс баков и двигателей.

Подробнее

Лекции по матану (III семестр) переходящие в шпоры

Вопросы пополнение в коллекции 12.01.2009

Рассмотрим в плоскости Оху замкнутую область D, ограниченную линией Г, являющейся замкнутой непрерывной кривой. z = l(P) = f(x,y), P= (x,y) D произвольные ф-ции определенные и ограниченные на D. Диаметром области D наз. наибольшее расстояние между граничными точками. Область D разбивается на n частых областей D1…Dn конечным числом произв. кривых. Если S площадь D, то Si площадь каждой частной области. Наибольший из диаметров областей обозн . В каждой частной области Di возьмем произв. точку Pi (i , Di) Di, наз. промежуточной. Если диаметр разбиения D 0 , то число n областей Di . Вычислим зн-ие ф-ции в промежуточных точках и составим сумму:I = f(i, Di)Si (1), наз. интегральной суммой ф-ции. Ф-ция f(x,y) наз. интегрируемой в области D если существует конечный предел интегральной суммы.

Подробнее
1 2 3 4 > >>